ODrediti tangente kruga [inlmath]x^2+(x+2)^2=4[/inlmath] koja je normalna na pravu [inlmath]3x-4y+3=0[/inlmath],a prolazi kroz prvi kvadrant.
Ja sam zakljuci da je centar kruga [inlmath]O(0,-2)[/inlmath] pa provukao pravu kroz nju (normalna na tangentu) i probao da nadjem tacke koje se seku sa tom pravom na kruznici jer ce jedna od tih biti i tacka tangente,ali nikako nisam dobio tacan rezultat koji je [inlmath]\left(-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\right)[/inlmath]

Pretpostavljam da jednačina kruga, ispravno napisana, glasi [inlmath]x^2+\left({\color{red}y}+2\right)^2=4[/inlmath].

Rešenje koje si napisao, [inlmath]\left(-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\right)[/inlmath], ne može biti tačno, jer se odmah vidi da ta prava ne ispunjava uslov da je normalna na zadatu pravu [inlmath]3x-4y+3=0[/inlmath]. Zadata prava, kad se napiše u eksplicitnom obliku, [inlmath]y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}[/inlmath], ima koeficijent pravca [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath], a prava normalna na nju mora imati koeficijent pravca [inlmath]-\frac{4}{3}[/inlmath] (negativna recipročna vrednost). Zbog toga [inlmath]\left(-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\right)[/inlmath] ne može biti rešenje.

Ti si krenuo sasvim dobro, koordinate centra kružnice si ispravno odredio i, kad kroz centar provučeš pravu koja je normalna na traženu tangentu (tj. paralelna sa zadatom pravom), imaće isti koeficijent pravca kao i zadata prava, tj. [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath]. Znači, biće oblika [inlmath]y=\frac{3}{4}x+n[/inlmath]. Pošto prolazi kroz centar kruga, čije su koordinate [inlmath]\left(0,-2\right)[/inlmath], uvrstimo te vrednosi u jednačinu i dobićemo [inlmath]n=-2[/inlmath], dakle, jednačina tog pravca je [inlmath]y=\frac{3}{4}x-2[/inlmath].

Presek te prave s kružnicom određujemo tako što, kombinujući prethodnu jednačinu i jednačinu kruga, dobijamo sistem od dve jednačine s dve nepoznate:
[dispmath]y=\frac{3}{4}x-2\\
x^2+\left(y+2\right)^2=4[/dispmath]
čijim se rešavanjem dobiju rešenja [inlmath]\left(x,y\right)=\left(-\frac{8}{5},-\frac{16}{5}\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(x,y\right)=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)[/inlmath]. Prvo rešenje odbacujemo, jer, pošto tangenta treba da prolazi kroz [inlmath]I[/inlmath] kvadrant, nijedna njena tačka ne sme pripadati [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu, tj. mora bar jedna koordinata svake tačke te tangente biti pozitivna. Znači, ostaje rešenje [inlmath]\left(x,y\right)=\left(\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)[/inlmath]. Pošto je jednačina tražene tangente oblika [inlmath]y=-\frac{4}{3}x+n[/inlmath] (budući da je normalna na pravu s koeficijentom pravca [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath], uvrstimo u tu jednačinu dobijene vrednosti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], kako bismo našli [inlmath]n[/inlmath]. Dobićemo da je [inlmath]n=\frac{4}{3}[/inlmath], prema tome, jednačina tražene tangente je
[dispmath]\enclose{box}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}}[/dispmath]

---

A imaš i mnogo lakši način, bez određivanja koordinata centra kružnice i postavljanja te prave kroz centar. Odmah napišeš da je jednačina tražene tangente oblika [inlmath]y=-\frac{4}{3}x+n[/inlmath] i primeniš formulu za uslov dodira prave i kružnice:
[dispmath]R^2\left(k^2+1\right)=\left(kp-q+n\right)^2[/dispmath]
Zatim uvrstiš poznate vrednosti:
[inlmath]R=2\\
k=-\frac{4}{3}\\
p=0\\
q=-2[/inlmath]
i odatle dobješ dve vrednosti po [inlmath]n[/inlmath]: [inlmath]\cancel{n_1=-\frac{16}{3}},\;\enclose{box}{n_2=\frac{4}{3}}[/inlmath]
Prvu vrednost smo odbacili, jer znamo da, ako prava prolazi kroz [inlmath]I[/inlmath] kvadrant, tada odsečak na [inlmath]y[/inlmath]-osi (a to je isto što i vrednost [inlmath]n[/inlmath]) mora biti pozitivan.
Znači, rešenje je opet
[dispmath]\enclose{box}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}}[/dispmath]