Uradio sam ovaj zadatak, hvala:-)....Da li bi mogao da pogledas zadatak u temi projekcija prave na ravan, vec sam postavljao pitanja, ako mozes da se nadovezes? Unapred hvala:-)

Miladin Jovic je napisao:Dakle, imamo [inlmath](13,1,-4)\cdot(x,y,z)=0[/inlmath] tj. [inlmath]13x+y-4z=0[/inlmath]. E sad, ako izaberemo da je [inlmath]x=1[/inlmath], [inlmath]y=7[/inlmath], zatim dobijaš [inlmath]20-4z=0[/inlmath] tj. [inlmath]z=5[/inlmath]. Ti možeš za vrednosti [inlmath]x,y[/inlmath] da izabereš bilo koje realne brojeve, pa u zavisnosti od toga da računaš [inlmath]z[/inlmath]. Bitno je samo da je navedeni skalarni proizvod jednak nuli.

Nikako.

Evo da ilustrujem šta si postigao ovim postupkom:


Dakle, ovo su te dve paralelne prave sa svojim vektorima pravaca [inlmath]\left<13,1,-4\right>[/inlmath]. Postavljajući jednačinu [inlmath]\left<13,1,-4\right>\cdot\left<x,y,z\right>=0[/inlmath], mi nameštamo vektor [inlmath]\left<x,y,z\right>[/inlmath] da bude normalan na neku od te dve prave. Međutim, vektori koji su normalni na datu pravu obrazuju čitav jedan snop vektora (prikazan na slici), raspoređenih u ravni koja je normalna na tu pravu. Znači, pravac ovako postavljenog vektora [inlmath]\left<x,y,z\right>[/inlmath] nije određen, određeno je samo to da će on biti normalan na datu pravu.

Jednoj komponenti vektora [inlmath]\left<x,y,z\right>[/inlmath] možeš dodeliti proizvoljnu vrednost, to je tačno. Ali, ako bi i drugoj komponenti dodelio proizvoljnu vrednost, ti bi time nasumično odabrao neki od vektora iz ovog snopa. Ako se i bude desilo da je taj vektor normalan na ravan koji obrazuju ove dve paralelne prave – to će biti čista slučajnost.

---

Evo kako bih ja odredio vektor normale za ravan koju obrazuju ove dve paralelne prave.

Dakle, jednačine pravih su
[dispmath]p:\;\frac{x-5}{13}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+3}{-4}[/dispmath][dispmath]q:\;\frac{x-2}{-26}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+3}{8}[/dispmath]
Jedan vektor koji pripada toj ravni si ispravno odredio, to je vektor bilo koje od te dve prave, [inlmath]\left<13,1,-4\right>[/inlmath]. Ali, treba nam još jedan vektor.
Taj drugi vektor ćemo odrediti kao vektor između neke dve tačke koje pripadaju svakoj od te dve prave. Najjednostavnije nam je da izaberemo one tačke čije koordinate direktno možemo očitati iz ovih jednačina. Na pravoj [inlmath]p[/inlmath] to je tačka [inlmath]\left(5,6,-3\right)[/inlmath], a na pravoj [inlmath]q[/inlmath] to je tačka [inlmath]\left(2,3,-3\right)[/inlmath].
Vektor između te dve tačke biće, prema tome, [inlmath]\left<2-5,3-6,-3-\left(-3\right)\right>[/inlmath], tj. [inlmath]\left<-3,-3,0\right>[/inlmath]. Radi jednostavnijeg računa, možemo uzeti njemu kolinearan vektor [inlmath]\left<1,1,0\right>[/inlmath] (sve tri komponente smo podelili sa [inlmath]-3[/inlmath]).

E sad, pošto imamo dva vektora koja pripadaju traženoj ravni, [inlmath]\left<13,1,-4\right>[/inlmath] i [inlmath]\left<1,1,0\right>[/inlmath], odredimo njihov vektorski proizvod pa će to biti vektor normale tražene ravni. I dalje radimo onako kako si i napisao.

Za dalji postupak postoji i drugi način. Kad imamo vektor normale ravni, oblika [inlmath]\left<A,B,C\right>[/inlmath], tada znamo da će jednačina ravni biti oblika [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath]. Parametar [inlmath]D[/inlmath] odredimo tako što u jednačinu [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath] uvrstimo koordinate neke od poznatih tačaka koje pripadaju toj ravni, recimo da je to neka tačka [inlmath]\left(x_0,y_0,z_0\right)[/inlmath]. Dobijamo jednačinu po [inlmath]D[/inlmath] koja glasi [inlmath]Ax_0+By_0+Cz_0+D=0[/inlmath] i odatle dobijamo da je [inlmath]D=-Ax_0-By_0-Cz_0[/inlmath].