odredite jednadžbu ravnine [inlmath]\pi_1[/inlmath] koja sadrži pravac [inlmath]p:\;\begin{cases} 2x+3y-z+6=0\\ 3x-5y+2z-8=0\end{cases}[/inlmath] i okomita je na ravninu [inlmath]\pi_2:\;2x-y-5z+12=0[/inlmath]

ja ovdje dobijem rješenja, tj. jednadžbu ravnine [inlmath]\pi_1=16x-33y+13k+54=0[/inlmath] ali nekako sumnjam u ispravnost i točnost svog rada

Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži pravac [inlmath]p_1:\;\frac{x-5}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{x-6}{5}[/inlmath] i paralelna je s pravcem [inlmath]p_2:\;\begin{cases} 2x+y-7z-2=0\\ x+3y-z-6=0\end{cases}[/inlmath]. Izračunajte kut između pravaca [inlmath]p_1[/inlmath] i [inlmath]p_2[/inlmath].

može pomoć oko ovoga isto?
ja dobijem jednadžbu ravnine [inlmath]\pi=6i+23j+k-2[/inlmath], a kut između pravaca [inlmath]71,41^\circ[/inlmath]

slavonija035 je napisao:odredite jednadžbu ravnine [inlmath]\pi_1[/inlmath] koja sadrži pravac [inlmath]p:\;\begin{cases} 2x+3y-z+6=0\\ 3x-5y+2z-8=0\end{cases}[/inlmath] i okomita je na ravninu [inlmath]\pi_2:\;2x-y-5z+12=0[/inlmath]

ja ovdje dobijem rješenja, tj. jednadžbu ravnine [inlmath]\pi_1=16x-33y+13k+54=0[/inlmath] ali nekako sumnjam u ispravnost i točnost svog rada

Proverio sam, ja isto dobijem [inlmath]\pi_1: 16x-33y+13z+54=0[/inlmath]

slavonija035 je napisao:Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži pravac [inlmath]p_1:\;\frac{x-5}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{x-6}{5}[/inlmath] i paralelna je s pravcem [inlmath]p_2:\;\begin{cases} 2x+y-7z-2=0\\ x+3y-z-6=0\end{cases}[/inlmath]. Izračunajte kut između pravaca [inlmath]p_1[/inlmath] i [inlmath]p_2[/inlmath].

Vektor normale tražene ravni (obeležimo je sa [inlmath]\alpha[/inlmath]) treba da bude normalan (okomit) na vektore oba zadata pravca, budući da ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] sadrži jedan od ta dva pravca, a s drugim je paralelna. Znači, biće jednak njihovom vektorskom proizvodu.

Iz jednačine pravca [inlmath]p_1[/inlmath]
[dispmath]p_1:\;\frac{x-5}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-6}{5}[/dispmath]
vidimo da je vektor ovog pravca
[dispmath]\vec{p_1}=\left\langle 3,-1,5\right\rangle[/dispmath]
Kako bismo našli vektor pravca [inlmath]p_2[/inlmath], njegovu jednačinu ćemo takođe prevesti u kanonski oblik:
[dispmath]p_2:\;\left\{
\begin{array}{l l}
2x+y-7z-2=0\\
x+3y-z-6=0\\
\end{array}\right.[/dispmath]
Od prve jednačine oduzimamo drugu pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]-5y-5z=-10[/dispmath]
[dispmath]y=2-z[/dispmath]
[dispmath]x+3\left(2-z\right)-z-6=0\quad\Rightarrow\quad x=4z[/dispmath]
pa je kanonski oblik jednačine ovog pravca:
[dispmath]p_2:\;\frac{x-0}{4}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-0}{1}[/dispmath]
Vektor ovog pravca je
[dispmath]\vec{p_2}=\left\langle 4,-1,1\right\rangle[/dispmath]
Ako je ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] zadata jednačinom
[dispmath]\alpha:\; Ax+By+Cz+D=0[/dispmath]
vektor normale te ravni biće jednak
[dispmath]\vec{n_\alpha}=\left\langle A,B,C\right\rangle[/dispmath]
Vektor ravni [inlmath]\alpha[/inlmath], kako je rečeno na početku ovog postupka, jednak je vektorskom proizvodu [inlmath]\vec{p_1}\times\vec{p_2}[/inlmath]:
[dispmath]\vec{n_\alpha}=\vec{p_1}\times\vec{p_2}=\left|\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
p_{1i} & p_{1j} & p_{1k} \\
p_{2i} & p_{2j} & p_{2k}
\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
3 & -1 & 5 \\
4 & -1 & 1
\end{matrix}\right|=4\vec i+17\vec j+\vec k[/dispmath]
Jednačina ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] biće, dakle, oblika:
[dispmath]\alpha:\; 4x+17y+z+D=0[/dispmath]
[inlmath]D[/inlmath] možemo odrediti na sledeći način:
Iz kanonskog oblika jednačine pravca [inlmath]p_1[/inlmath]
[dispmath]p_1:\;\frac{x-5}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-6}{5}[/dispmath]
vidimo da taj pravac sadrži tačku [inlmath]\left(5,-1,6\right)[/inlmath], a pošto ravan [inlmath]\alpha[/inlmath], po uslovu zadatka, mora sadržati pravac [inlmath]p_1[/inlmath], mora samim tim sadržati i tačku [inlmath]\left(5,-1,6\right)[/inlmath]:
[dispmath]4\cdot 5+17\cdot\left(-1\right)+6+D=0\quad\Rightarrow\quad D=-9[/dispmath]
pa je jednačina ravni [inlmath]\alpha[/inlmath]
[dispmath]\alpha:\; 4x+17y+z-9=0[/dispmath]

Ugao između pravaca [inlmath]p_1[/inlmath] i [inlmath]p_2[/inlmath] možemo izračunati koristeći skalarni proizvod njihovih vektora:
[dispmath]\vec{p_1}\cdot\vec{p_2}=\left|\vec{p_1}\right|\cdot\left|\vec{p_2}\right|\cos\angle\left(\vec{p_1},\vec{p_2}\right)\quad\Rightarrow\quad\cos\angle\left(\vec{p_1},\vec{p_2}\right)=\frac{\vec{p_1}\cdot\vec{p_2}}{\left|\vec{p_1}\right|\cdot\left|\vec{p_2}\right|}[/dispmath]
[dispmath]\vec{p_1}\cdot\vec{p_2}=p_{1i}p_{2i}+p_{1j}p_{2j}+p_{1k}p_{2k}=3\cdot 4+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)+5\cdot 1=18[/dispmath]
[dispmath]\left|\vec{p_1}\right|=\sqrt{p_{1i}^2+p_{1j}^2+p_{1k}^2}=\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2+5^2}=\sqrt{35}[/dispmath]
[dispmath]\left|\vec{p_2}\right|=\sqrt{p_{2i}^2+p_{2j}^2+p_{2k}^2}=\sqrt{4^2+\left(-1\right)^2+1^2}=\sqrt{18}=3\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\cos\angle\left(\vec{p_1},\vec{p_2}\right)=\frac{\vec{p_1}\cdot\vec{p_2}}{\left|\vec{p_1}\right|\cdot\left|\vec{p_2}\right|}=\frac{18}{\sqrt{35}\cdot 3\sqrt 2}=\frac{6}{\sqrt{70}}=\frac{6\sqrt{70}}{70}=\frac{3\sqrt{70}}{35}[/dispmath]
[dispmath]\angle\left(\vec{p_1},\vec{p_2}\right)=\arccos\frac{3\sqrt{70}}{35}[/dispmath]
Proveri ti za svaki slučaj da nisam negde nešto zeznô u računanju, jer ipak je bio pozamašan postupak...

slavonija035 je napisao:ja dobijem jednadžbu ravnine [inlmath]\pi=6i+23j+k-2[/inlmath], a kut između pravaca [inlmath]71,41^\circ[/inlmath]

Hm, tek sad vidim ovo tvoje rešenje... Si to naknadno dopisao?
Za ovo rešenje odmah možeš videti da nije tačno. Jer, ako posmatramo pravac [inlmath]p_1[/inlmath] koji pripada traženoj ravni, vidimo da on sadrži tačku [inlmath]\left(5,-1,6\right)[/inlmath]. To znači da i sama ta tačka treba da pripada traženoj ravni.
Međutim, kad u tvoje rešenje uvrstimo koordinate te tačke, dobijamo:
[inlmath]6\cdot 5+23\cdot\left(-1\right)+6-2=0[/inlmath]
a ta jednakost nije zadovoljena.
Inače, nikako ne smeš jednačinu ravni pisati u obliku [inlmath]Ai+Bj+Ck+D=0[/inlmath], jer [inlmath]i,j,k[/inlmath] nisu koordinate, već oznake vektora. Koordinate su [inlmath]x,y,z[/inlmath]. Znači, [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath].
I obavezno na kraju napišeš da je to jednako nuli, nemoj to zaboraviti. Bez tog znaka jednakosti sâm izraz ne znači ništa.