Ako je duzina tetive kruznice [inlmath](x-3)^2+(y-4)^2=r^2[/inlmath] na [inlmath]Ox[/inlmath] osi jednaka [inlmath]6[/inlmath] onda je duzina te tetive na [inlmath]Oy[/inlmath] osi jednaka?

Nemam nikakvu ideju kako se ovo radi

Ako može pojašnjenje, jer mi ovako formulisan tekst zvuči skroz nelogično. Na osnovu prvog dela rečenice zaključim da tetiva pripada [inlmath]Ox[/inlmath]-osi, a onda se u drugom delu traži dužina te tetive na [inlmath]Oy[/inlmath]-osi, što bi značilo da tetiva pripada istovremeno i [inlmath]Ox[/inlmath]- i [inlmath]Oy[/inlmath]-osi, a to je, naravno, nemoguće. Da se ne misli možda na projekcije tetive na [inlmath]Ox[/inlmath]- i na [inlmath]Oy[/inlmath]-osu?

Ili se misli na dve različite tetive te iste kružnice, jednu koja pripada [inlmath]Ox[/inlmath]-osi i na drugu koja pripada [inlmath]Oy[/inlmath]-osi?

Ili nešto treće?

Zadatak je bas ovako formulisan, ja sam ukapirao da se radi o projekcijama tetive na ose, posto medju ponudjenim resenjima nema [inlmath]0\;\Rightarrow[/inlmath] tetiva ne pripada [inlmath]Ox[/inlmath] osi

Sad sam baš razmišljao o ovom zadatku... Nema šanse da se radi o projekcijama, jer za zadatu dužinu [inlmath]x[/inlmath]-projekcije ja mogu tako da odredim poluprečnik kružnice [inlmath]r[/inlmath] (koji nije zadat) i ugao tetive u odnosu na koordinatne ose, tako da dobijem koliku god hoću dužinu projekcije na [inlmath]y[/inlmath]-osu... Drugim rečima, postojalo bi beskonačno mnogo rešenja.

A da se, možda, među ponuđenim rešenjima ne nalazi i [inlmath]8[/inlmath]?

Nalazi se, sta to znaci?

To znači da zadatak, najverovatnije, ne treba da glasi

_Mita je napisao:Ako je duzina tetive kruznice [inlmath](x-3)^2+(y-4)^2=r^2[/inlmath] na [inlmath]Ox[/inlmath] osi jednaka [inlmath]6[/inlmath] onda je duzina te tetive na [inlmath]Oy[/inlmath] osi jednaka?

(jer rečenica, tako formulisana, ne znači ništa),
već treba da glasi

Ako je duzina tetive kruznice [inlmath](x-3)^2+(y-4)^2=r^2[/inlmath] na [inlmath]Ox[/inlmath] osi jednaka [inlmath]6[/inlmath] onda je duzina tetive te kružnice na [inlmath]Oy[/inlmath] osi jednaka?

tj. to bi odgovaralo onoj mojoj drugoj pretpostavci: da se radi o dve različite tetive, jednoj na [inlmath]x[/inlmath]-osi, drugoj na [inlmath]y[/inlmath]-osi, a svaka od te dve tetive određena je presečnim tačkama kružnice s odgovarajućom koordinatnom osom.

OK, uradiću to ujutro, sad mi se već malko prispavalo. El' ti nije hitno?

Kad stignes bre

Mislim da sam ukapirao o cemu se radi i u pravu si, radi se o dve tetive, u prepisivanju sam izostavio dve tri reci, posto sam razmisljao o projekcijama i promenio sam smisao

A dobro, dešava se.

_Mita je napisao:Kad stignes bre

U redu, bre

C U in da morning

Evo prvo jednog načina rešavanja na osnovu intuicije, koji je sa dosta manje računa, mada nisam siguran da li bi se i priznao na testu.


Intuitivno je jasno da [inlmath]x[/inlmath]-koordinata središta tetive koja se nalazi na [inlmath]Ox[/inlmath]-osi jednaka [inlmath]x[/inlmath]-koordinati centra kružnice, [inlmath]p[/inlmath]:[dispmath]\frac{x_1+x_2}{2}=p[/dispmath]gde [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] predstavljaju [inlmath]x[/inlmath]-koordinate krajnjih tačaka tetive na [inlmath]Ox[/inlmath]-osi, tj. presečne tačke kružnice s [inlmath]Ox[/inlmath]-osom.

Isto tako, [inlmath]y[/inlmath]-koordinata središta tetive koja se nalazi na [inlmath]Oy[/inlmath]-osi jednaka je [inlmath]y[/inlmath]-koordinati centra kružnice, [inlmath]q[/inlmath]:[dispmath]\frac{y_1+y_2}{2}=q[/dispmath]gde [inlmath]y_1[/inlmath] i [inlmath]y_2[/inlmath] predstavljaju [inlmath]y[/inlmath]-koordinate krajnjih tačaka tetive na [inlmath]Oy[/inlmath]-osi, tj. presečne tačke kružnice s [inlmath]Oy[/inlmath]-osom.

Koordinate centra kružnice su date (očitamo ih iz jednačine kružnice):
[inlmath]p=3[/inlmath]
[inlmath]q=4[/inlmath]
Data je i dužina tetive kružnice na [inlmath]Ox[/inlmath]-osi: [inlmath]x_2-x_1=6[/inlmath]

Na osnovu toga imamo sistem od dve jednačine s dve nepoznate:[dispmath]\frac{x_1+x_2}{2}=p\quad\Rightarrow\quad x_1+x_2=6[/dispmath][dispmath]x_2-x_1=6[/dispmath]Rešenja su [inlmath]x_1=0[/inlmath] i [inlmath]x_2=6[/inlmath].

Iz [inlmath]x_1=0[/inlmath] zaključujemo da je jedna krajnja tačka tetive na [inlmath]Ox[/inlmath]-osi u koordinatnom početku, tj. da kružnica sadrži koordinatni početak, a to, opet, znači, da će i jedna tačka tetive na [inlmath]Oy[/inlmath]-osi takođe biti u koordinatnom početku: [inlmath]y_1=0[/inlmath]
Znajući da je[dispmath]\frac{y_1+y_2}{2}=q\quad\Rightarrow\quad y_1+y_2=2q\quad\Rightarrow\quad 0+y_2=8[/dispmath]nalazimo da je [inlmath]y_2=8[/inlmath], a da je dužina tetive na [inlmath]Oy[/inlmath]-osi jednaka [inlmath]y_2-y_1=8-0=8[/inlmath].

Na slici je prikazano kako to izgleda:


Možemo primetiti da pri ovom načinu određivanja dužine tetive nije potrebno odrediti poluprečnik kružnice [inlmath]r[/inlmath]. Kasnije ću prikazati i drugi način, koji isključuje intuiciju i svodi se isključivo na račun.

Evo i tog drugog načina (koji bih ti i preporučio da upotrebiš na testu )

Kao i prošli put, krajnje tačke tetive na [inlmath]Ox[/inlmath]-osi obeležimo sa [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath], a krajnje tačke tetive na [inlmath]Oy[/inlmath]-osi obeležimo sa [inlmath]y_1[/inlmath] i [inlmath]y_2[/inlmath].

Iskoristimo podatak da je dužina tetive na [inlmath]Ox[/inlmath]-osi jednaka [inlmath]6[/inlmath], tj. da je [inlmath]x_2-x_1=6[/inlmath]. Izvedemo izraz za [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath]:[dispmath]\left(x-3\right)^2+\left(y-4\right)^2=r^2[/dispmath]Pošto se radi o tetivi koja je na [inlmath]Ox[/inlmath]-osi, tada su [inlmath]y[/inlmath]-koordinate jednake nuli:[dispmath]\left(x-3\right)^2+\left(-4\right)^2=r^2[/dispmath][dispmath]x^2-6x+9+16=r^2[/dispmath][dispmath]x^2-6x+25-r^2=0[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-4\left(25-r^2\right)}}{2}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=3\pm\sqrt{9-\left(25-r^2\right)}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=3\pm\sqrt{r^2-16}[/dispmath][dispmath]x_2-x_1=6[/dispmath][dispmath]\left(3+\sqrt{r^2-16}\right)-\left(3-\sqrt{r^2-16}\right)=6[/dispmath][dispmath]2\sqrt{r^2-16}=6[/dispmath][dispmath]r^2-16=9[/dispmath][dispmath]r^2=25[/dispmath][dispmath]r=5[/dispmath]Na osnovu poznatog poluprečnika kružnice sada tražimo [inlmath]y[/inlmath]-koordinate njenog preseka s [inlmath]Oy[/inlmath]-osom, koje predstavljaju krajnje tačke tetive na [inlmath]Oy[/inlmath]-osi.[dispmath]\left(x-3\right)^2+\left(y-4\right)^2=25[/dispmath]Pošto se radi o [inlmath]Oy[/inlmath]-osi, [inlmath]x[/inlmath]-koordinate izjednačavamo s nulom:[dispmath]\left(-3\right)^2+\left(y-4\right)^2=25[/dispmath][dispmath]9+y^2-8y+16=25[/dispmath][dispmath]y^2-8y=0[/dispmath][dispmath]y\left(y-8\right)=0[/dispmath][dispmath]y_1=0\quad y_2=8[/dispmath][dispmath]\underline{y_2-y_1=8}[/dispmath]