MATEMANIJA

Pozdrav,

Kako bi se radio ovaj zadatak:

Odrediti geometrijsko mesto sredina tetiva hiberbole [inlmath]x^2-4y^2=16[/inlmath] koje zaklapaju sa [inlmath]x[/inlmath]-osom ugao [inlmath]45[/inlmath].

Prave koje s [inlmath]x[/inlmath]-osom zaklapaju ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath] mogu se napisati u obliku [inlmath]y=x+n[/inlmath]. Koordinate njihovih preseka s hiperbolom [inlmath]x^2-4y^2=16[/inlmath] određujemo tako što u jednačinu hiperbole uvrstimo [inlmath]y=x+n[/inlmath]:
[dispmath]x^2-4\left(x+n\right)^2=16[/dispmath]
što, kada sredimo i rešimo, dobijemo
[dispmath]x_{1,2}=\frac{2}{3}\left(-2n\pm\sqrt{n^2-12}\right)[/dispmath]
odakle vidimo da je uslov da prava seče hiperbolu u dvema tačkama i da, samim tim, sadrži njenu tetivu, taj da potkorena veličina, [inlmath]n^2-12[/inlmath], bude strogo veća od nule, kako bi prethodna kvadratna jednačina imala dva realna i različita rešenja. To jest,
[dispmath]n\in\left(-\infty,-2\sqrt 3\right)\cup\left(2\sqrt 3,+\infty\right)\qquad\left(1\right)[/dispmath]
[inlmath]x[/inlmath]-koordinata sredine svake od tetiva biće jednaka aritmetičkoj sredini [inlmath]x[/inlmath]-koordinata preseka te tetive s hiperbolom, a to će biti
[dispmath]x=-\frac{4n}{3}[/dispmath]
a [inlmath]y[/inlmath]-koordinata:
[dispmath]y=x+n=-\frac{n}{3}[/dispmath]
Uz uslov [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], dobijamo opseg vrednosti za [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu:
[dispmath]x\in\left(-\infty,-\frac{8\sqrt 3}{3}\right)\cup\left(\frac{8\sqrt 3}{3},+\infty\right),\quad y\in\left(-\infty,-\frac{2\sqrt 3}{3}\right)\cup\left(\frac{2\sqrt 3}{3},+\infty\right)\qquad\left(2\right)[/dispmath]
Radi određivanja traženog geometrijskog mesta tačaka, izrazimo [inlmath]n[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]x=-\frac{4n}{3}\quad\Rightarrow\quad n=-\frac{3x}{4}[/dispmath]
a zatim to uvrstimo u [inlmath]y=-\frac{n}{3}[/inlmath]:
[dispmath]y=-\frac{-\frac{3x}{4}}{3}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{y=\frac{x}{4}}[/dispmath]
uz uslov [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] pripadnosti koordinata odgovarajućim intervalima.

Prema tome, traženo geometrijsko mesto su delovi prave [inlmath]y=\frac{x}{4}[/inlmath] kod kojih važi uslov [inlmath]\left(2\right)[/inlmath].