MATEMANIJA

Muci me ovaj zadatak mnogo, nemam cak ni ideju kako da pocnem da radim... puno bi mi znacilo ako neko zna kako bi se uradio ovaj zadatak
Dokazati da je povrsina trougla obrazivanog asimptotama hiberpole [inlmath]b^2x^2-a^2y^2=b^2[/inlmath] i proizvoljnom tangentom te hiperbole , stalna velicina

Potrebno je prvo da odrediš jednačine asimptota ove hiperbole, znajući da formule za asimptote hiperbole [inlmath]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath] glase [inlmath]y=\pm\frac{b}{a}x[/inlmath].

Zatim je potrebno da odrediš jednačinu tangente na ovu hiperbolu kroz neku tačku [inlmath]M\left(x_0,y_0\right)[/inlmath], znajući da formula za tangentu hiperbole [inlmath]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath] glasi [inlmath]\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1[/inlmath].

Kada odrediš ove jednačine, jedna tačka trougla će biti koordinatni početak (tačka preseka asimptota), dok će druge dve tačke trougla biti tačke preseka tangente sa svakom od asimptota.

Odrediš površinu trougla, koristeći formulu [inlmath]P_\triangle=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1\\x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix}\right|[/inlmath], gde su [inlmath]\left(x_1,y_1\right)[/inlmath], [inlmath]\left(x_2,y_2\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(x_3,y_3\right)[/inlmath] koordinate temena trougla.

Na kraju je potrebno da pokažeš da površina trougla ne zavisi od izbora tangente, tako što ćeš dobiti izraz za površinu trougla u kojem ne figurišu [inlmath]x_0[/inlmath] i [inlmath]y_0[/inlmath].

hvala ti
evo sad bas radim , dobijem koje su koordinate trougla, ali kad ubacim u jednacinu za poovrsinu trougla, ja ipak na kraju dobijem neki izraz u kome se javljaju [inlmath]x_o[/inlmath] i [inlmath]y_o[/inlmath]

Napiši šta si tačno radila... Koje izraze si dobila za koordinate temena?

Za jednu koordinatu sam dobila [inlmath]\left(\frac{a^2b}{x_ob-y_oa},\frac{ab^2}{bx_o-ay_o}\right)[/inlmath]
a za drugu [inlmath]\left(\frac{a^2b}{x_ob+y_oa},-\frac{ab^2}{bx_o+ay_o}\right)[/inlmath]

Nisu dobre koordinate. Ti si, izgleda, radila kao da imaš hiperbolu [inlmath]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath].
Međutim, hiperbola u ovom zadatku glasi [inlmath]b^2x^2-a^2y^2=b^2[/inlmath].

Možeš i da iskoristiš ovaj opšti slučaj koji si radila – u ove poslednje obrasce umesto [inlmath]a[/inlmath] pišeš [inlmath]1[/inlmath], a umesto [inlmath]b[/inlmath] stavljaš [inlmath]\frac{b}{a}[/inlmath] i dobićeš odgovarajuće koordinate. Determinantu lako sračunaš pogodnim razvojem s obzirom na to da su dve koordinate nule, svede se na determinantu [inlmath]2\times2[/inlmath].

Takođe, možeš nastaviti rad i sa ovim koordinatama koje si dobila, i njih da ubaciš u determinantu. Samo, na kraju još iskoristi [inlmath]b^2x_0^2-a^2y_0^2=b^2[/inlmath] (što važi za svaku tačku hiperbole s obzirom na to da je njena jednačina [inlmath]b^2x^2-a^2y^2=b^2[/inlmath]), i onda ćeš takođe dobiti da odgovarajuća površina ne zavisi od [inlmath]x_0[/inlmath] i [inlmath]y_0[/inlmath].

Kao da sam znala, ovaj zadatak mi se pao na kolokvijumu danas
Uspesno je uradjen.