MATEMANIJA

Imam samo jos jedno pitanje
DAte su tacke [inlmath]A,B[/inlmath]. Naci geometrijsko mesto tacaka [inlmath]M[/inlmath] za koje je [inlmath]\overline{AM}=\lambda\overline{MB}[/inlmath]
E sad, meni deluje kao da to ima veze sa Apolonijevim krugovima, i mislim da se dobija kruznica kao geometrijsko mesto, ali nismo radili to na vezbama, ne znam kako bi isao dokaz

Da, dobije se da je geometrijsko mesto – kružnica. Naravno, pod uslovom da je [inlmath]\lambda\ne 1[/inlmath]. Za [inlmath]\lambda=1[/inlmath] je intuitivno jasno da bi geometrijsko mesto bila prava linija – simetrala duži [inlmath]AB[/inlmath].

Kreneš tako što označiš proizvoljnu tačku [inlmath]M\left(x,y\right)[/inlmath] takvu da važi [inlmath]\overline{AM}=\lambda\overline{MB}[/inlmath]. Ako su [inlmath]x_A[/inlmath] i [inlmath]y_A[/inlmath] koordinate tačke [inlmath]A[/inlmath], a [inlmath]x_B[/inlmath] i [inlmath]y_B[/inlmath] koordinate tačke [inlmath]B[/inlmath], napišeš formule za razdaljine [inlmath]\overline{AM}[/inlmath] i [inlmath]\overline{BM}[/inlmath]:
[dispmath]\overline{AM}=\sqrt{\left(x-x_A\right)^2+\left(y-y_A\right)^2}\\
\overline{BM}=\sqrt{\left(x-x_B\right)^2+\left(y-y_B\right)^2}[/dispmath]
Uvrstiš to u [inlmath]\overline{AM}=\lambda\overline{MB}[/inlmath] i, posle sređivanja i sređivanja, na kraju ti se to svede na jednačinu kružnice:
[dispmath]\left(x-\frac{x_A-\lambda^2x_B}{1-\lambda^2}\right)^2+\left(y-\frac{y_A-\lambda^2y_B}{1-\lambda^2}\right)^2=\frac{\lambda^2\left(x_B^2+y_B^2\right)-\left(x_A^2+y_A^2\right)}{1-\lambda^2}+\left(\frac{x_A-\lambda^2x_B}{1-\lambda^2}\right)^2+\left(\frac{y_A-\lambda^2y_B}{1-\lambda^2}\right)^2[/dispmath]
Znači, centar te kružnice bi bio u tački [inlmath]\left(\frac{x_A-\lambda^2x_B}{1-\lambda^2},\frac{y_A-\lambda^2y_B}{1-\lambda^2}\right)[/inlmath], a njen poluprečnik bi bio koren ove kobasice na desnoj strani jednačine, koja bi možda i mogla još da se sredi, ili možda ne bi mogla, mrzi me sad da proveravam, bitno je da je pokazano da se dobije jednačina kružnice.