MATEMANIJA

Pozdrav!

Pokusavam rijesiti ove zadatke i gledao sam mnoge video zapise i pretrazivao internet. Preslistao sam sve i jednu knjigu sto imam, medjutim, nisam mogao naci tacan postupak rijesavanja ovih zadataka. Treba me uputiti na pravi put znam dosta toga iz ove oblasti samo ove elipse mi prave problem.

1. Zariste elipse i jedno njezino tjeme vrhovi su jednakostranicnog trougla povrsine [inlmath]9\sqrt 3[/inlmath]. Odrediti jednacinu elipse.

2. Odrediti koordinate one tacke elipse [inlmath]9x^2+25y^2=225[/inlmath] cije je rastojanje od desnog fokusa cetiri puta vece od rastojanja od lijevog fokusa.

787B je napisao:2. Odrediti koordinate one tacke elipse [inlmath]9x^2+25y^2=225[/inlmath] cije je rastojanje od desnog fokusa cetiri puta vece od rastojanja od lijevog fokusa.

Podeliš levu i desnu stranu jednačine elipse sa [inlmath]225[/inlmath] kako bi na desnoj strani dobio [inlmath]1[/inlmath]. Dobićeš oblik
[dispmath]\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1[/dispmath]
to jest, [inlmath]a=5,\;b=3[/inlmath]. Odatle nađeš i [inlmath]x[/inlmath]-koordinate žiža kao [inlmath]c=\sqrt{a^2-b^2}[/inlmath], tj. [inlmath]c=4[/inlmath].

I sada postaviš jednačine za odstojanja tačke [inlmath]M\left(x,y\right)[/inlmath] na elipsi od leve žiže ([inlmath]\rho_1[/inlmath]) i od desne žiže ([inlmath]\rho_2[/inlmath]):


[dispmath]\rho_1=\sqrt{\left(x+c\right)^2+y^2}\\
\rho_2=\sqrt{\left(x-c\right)^2+y^2}[/dispmath]
Imaš uslov
[dispmath]\rho_2=4\rho_1[/dispmath]
U taj uslov uvrstiš malopre napisane izraze za [inlmath]\rho_1[/inlmath] i [inlmath]\rho_2[/inlmath] i dobićeš jednačinu u kojoj figurišu [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. To ti je jedna jednačina s dve nepoznate. Potrebna ti je i druga jednačina s te dve nepoznate, kako bi mogao da rešiš sistem, a ta druga jednačina je upravo jednačina elipse, [inlmath]9x^2+25y^2=225[/inlmath]. Iz nje izrazi [inlmath]y[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath] i uvrsti u prvu jednačinu, pa ćeš dobiti kvadratnu jednačinu po [inlmath]x[/inlmath], čija su rešenja [inlmath]x_1=-\frac{125}{12}[/inlmath] i [inlmath]x_2=-\frac{15}{4}[/inlmath]. Prvo rešenje odbacuješ, jer ne pripada intervalu [inlmath]\left[-5,5\right][/inlmath], tj. tačka s tom [inlmath]x[/inlmath]-koordinatom se ne može nalaziti na elipsi, a kad drugo rešenje po [inlmath]x[/inlmath] vratiš u sistem, dobićeš [inlmath]y=\pm\frac{3\sqrt 7}{4}[/inlmath]. Prema tome, rešenje su dve tačke elipse, jedna s koordinatama [inlmath]\left(-\frac{15}{4},-\frac{3\sqrt 7}{4}\right)[/inlmath], druga s koordinatama [inlmath]\left(-\frac{15}{4},\frac{3\sqrt 7}{4}\right)[/inlmath].

787B je napisao:1. Zariste elipse i jedno njezino tjeme vrhovi su jednakostranicnog trougla povrsine [inlmath]9\sqrt 3[/inlmath]. Odrediti jednacinu elipse.

Prvo, ako ti je poznata površina jednakostraničnog trougla, kolika mu je onda stranica? To lako nađeš, koristeći formulu za površinu jednakostraničnog trougla, [inlmath]P=\frac{a^2\sqrt 3}{4}[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] njegova stranica. Naravno, treba da se dobije da je stranica tog trougla jednaka [inlmath]6[/inlmath].

E sad, u tekstu nešto očigledno fali. Prvo, nije rečeno na koje se teme misli, a postoje četiri temena – [inlmath]\left(a,0\right)[/inlmath], [inlmath]\left(0,b\right)[/inlmath], [inlmath]\left(-a,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(0,-b\right)[/inlmath].

Ako se misli na teme [inlmath]\left(0,b\right)[/inlmath] (odnosno na teme [inlmath]\left(0,-b\right)[/inlmath], jer ta dva slučaja se svode na jedan, zbog simetrije elipse), tada bi rastojanje od žiže pa do temena bilo jednako velikoj poluosi elipse [inlmath]a[/inlmath], a pošto je to rastojanje između dva vrha jednakostraničnog trougla stranice [inlmath]6[/inlmath], to rastojanje bi bilo [inlmath]6[/inlmath], tj. bilo bi [inlmath]a=6[/inlmath], ali ne bismo imali dovoljno podataka da možemo izračunati i [inlmath]b[/inlmath].

Ako se misli na teme [inlmath]\left(a,0\right)[/inlmath] i na žižu [inlmath]\left(c,0\right)[/inlmath], tada bi bilo [inlmath]a-c=6[/inlmath], tj. [inlmath]a-\sqrt{a^2-b^2}=6[/inlmath], tj. imali bismo jednu jednačinu s dve nepoznate, pa je ne bismo mogli rešiti.

Ako se misli na teme [inlmath]\left(-a,0\right)[/inlmath] i na žižu [inlmath]\left(c,0\right)[/inlmath], tada bi bilo [inlmath]a+c=6[/inlmath], tj. [inlmath]a+\sqrt{a^2-b^2}=6[/inlmath] i opet bismo imali isti slučaj kao malopre – jednu jednačinu s dve nepoznate.

Prema tome, proveri tekst zadatka i dopuni ga neophodnim podacima.