MATEMANIJA

Pozdrav za sve evo nalatio sam na ovaj zadatak i ne da mi se nikako uraditi. Probao sam sve i svasta na osnovu pravouglog trougla koji grade popuprecnici sa tetivom.Samo da mi je odrediti kordinate sredista tetive sve bi bilo lako. Eto ako neko zna nesto neka pomaze

Iz tacke [inlmath]A(15,-5)[/inlmath] povuci sjecicu na kruznicu.Tako da odsjeca tetivu duzine [inlmath]10[/inlmath].Naci jednacinu te secice.
[dispmath]x^2+y^2=50[/dispmath]

Dakle, poluprečnik kružnice je [inlmath]5\sqrt 2[/inlmath]. Rastojanje tražene tetive od centra kružnice obeležimo sa [inlmath]x[/inlmath]. Primenom Pitagorine teoreme na pravougli trougao čije su katete [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath], a hipotenuza [inlmath]5\sqrt 2[/inlmath], kao na slici,


lako dolazimo do toga da je [inlmath]x=5[/inlmath].

Možemo videti da će tražena sečica (čija je tetiva na slici obeležena crveno) istovremeno biti i tangenta na kružnicu poluprečnika [inlmath]x[/inlmath] (tj. poluprečnika [inlmath]5[/inlmath], pošto je [inlmath]x=5[/inlmath]), a čiji se centar poklapa s centrom zadate kružnice poluprečnika [inlmath]5\sqrt 2[/inlmath]. Prema tome, zadatak se svodi na nalaženje jednačine tangente na kružnicu čiji je centar u koordinatnom početku, a poluprečnik joj je [inlmath]5[/inlmath]. Za to koristimo formulu za uslov da prava [inlmath]y=kx+n[/inlmath] bude tangenta kružnice [inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2[/inlmath], a koja glasi [inlmath]r^2\left(k^2+1\right)=\left(-kp+q-n\right)^2[/inlmath] (formula je izvedena u ovoj temi).

---

Imaš i drugi (po meni, teži) način, da presečne tačke sečice i kružnice obeležiš sa [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], napišeš dužinu tetive kao [inlmath]\sqrt{\left(x_B-x_C\right)^2+\left(y_B-y_C\right)^2}[/inlmath], pri čemu je [inlmath]y_B-y_C=k\left(x_B-x_C\right)[/inlmath], gde je [inlmath]k[/inlmath] koeficijent pravca sečice, pa onda [inlmath]x_B-x_C[/inlmath] izraziš u funkciji od [inlmath]k[/inlmath] tako što prethodno i [inlmath]x_B[/inlmath] i [inlmath]x_C[/inlmath] izraziš u funkciji od [inlmath]k[/inlmath] pa zatim nađeš njihovu razliku... Dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]k[/inlmath], koju zatim rešavaš...

---

Bez obzira na to na koji ćeš od ova dva načina raditi, treba, naravno, da dobiješ dva rešenja po [inlmath]k[/inlmath], budući da postoje dva načina na koje kroz datu tačku možeš povući pravu koja će na kružnici odsecati tetivu zadate dužine.

Evo vec sam nacrto kruznice i prave u geogebri.Uradio sam na ovaj prvi nacin nema sta sve mi je jasno.Jedino sto bi me jos zanimalo je ovaj drugi nacin rjesavanja nema veze neka je duzi. Slabo mi je ovde sta jasno a pogotovo razlika ovih funkcija. Mozes li da pojasnis ovaj drugi nacin malo bolje ?

Napišeš jednačinu sečice u opštem obliku, [inlmath]y=kx+n[/inlmath], pa zatim, iz uslova da sadrži tačku [inlmath]A\left(15,-5\right)[/inlmath], dođeš do oblika [inlmath]y=k\left(x-15\right)-5[/inlmath].

To [inlmath]y[/inlmath] uvrstiš u jednačinu kružnice, [inlmath]x^2+y^2=50[/inlmath]:
[dispmath]x^2+\left[k\left(x-15\right)-5\right]^2=50[/dispmath]
Kad to središ, dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]x[/inlmath], u zavisnosti od [inlmath]k[/inlmath], čije je rešenje
[dispmath]x_{1,2}=\frac{10k\left(3k+1\right)\pm\sqrt{100k^2\left(3k+1\right)^2-4\left(k^2+1\right)\left(225k^2+150k-25\right)}}{2\left(k^2+1\right)}[/dispmath]
Za [inlmath]x_B[/inlmath] ćemo uzeti da je [inlmath]x_1[/inlmath], a za [inlmath]x_C[/inlmath] ćemo uzeti da je [inlmath]x_2[/inlmath] (može i obratno, svejedno je, jer ćemo posle ionako [inlmath]x_B-x_C[/inlmath] dići na kvadrat, a to je jednako kvadratu razlike [inlmath]x_C-x_B[/inlmath]). Kod računanja razlike [inlmath]x_B-x_C[/inlmath] kratiće se deo koji je van korena, dok će se vrednost korena udvostručiti (jer pred korenom imamo suprotne znake kod [inlmath]x_B[/inlmath] i kod [inlmath]x_C[/inlmath]):
[dispmath]\left|x_B-x_C\right|=\frac{\cancel 2\sqrt{100k^2\left(3k+1\right)^2-4\left(k^2+1\right)\left(225k^2+150k-25\right)}}{\cancel 2\left(k^2+1\right)}[/dispmath][dispmath]\left(x_B-x_C\right)^2=\frac{100k^2\left(3k+1\right)^2-4\left(k^2+1\right)\left(225k^2+150k-25\right)}{\left(k^2+1\right)^2}\quad\left(1\right)[/dispmath]
Možemo pokazati da je razlika [inlmath]y[/inlmath]-koordinata ove dve tačke jednaka proizvodu razlike njihovih [inlmath]x[/inlmath]-koordinata i koeficijenta pravca [inlmath]k[/inlmath]. Uvrštavamo koordinate ovih tačaka u jednačinu [inlmath]y=k\left(x-15\right)-5[/inlmath]:
[dispmath]y_B=k\left(x_B-15\right)-5\\
y_C=k\left(x_C-15\right)-5[/dispmath][dispmath]y_B-y_C=k\left(x_B-15\right)-\cancel 5-k\left(x_C-15\right)+\cancel 5[/dispmath][dispmath]y_B-y_C=kx_B-\cancel{15k}-kx_C+\cancel{15k}[/dispmath][dispmath]y_B-y_C=k\left(x_B-x_C\right)[/dispmath][dispmath]\left(y_B-y_C\right)^2=k^2\left(x_B-x_C\right)^2[/dispmath]
Napišemo izraz za dužinu tražene tetive i izjednačimo ga sa [inlmath]10[/inlmath], koliko dužina tetive treba da iznosi:
[dispmath]\sqrt{\left(x_B-x_C\right)^2+\left(y_B-y_C\right)^2}=10[/dispmath][dispmath]\left(x_B-x_C\right)^2+\left(y_B-y_C\right)^2=100[/dispmath][dispmath]\left(x_B-x_C\right)^2+k^2\left(x_B-x_C\right)^2=100[/dispmath][dispmath]\left(k^2+1\right)\left(x_B-x_C\right)^2=100[/dispmath]
Sada [inlmath]\left(x_B-x_C\right)^2[/inlmath] zamenimo desnom stranom jednačine [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\cancel{\left(k^2+1\right)}\cdot\frac{100k^2\left(3k+1\right)^2-4\left(k^2+1\right)\left(225k^2+150k-25\right)}{\left(k^2+1\right)^{\cancel 2}}=100[/dispmath]
Sredi to i dobićeš kvadratnu jednačinu čija su rešenja [inlmath]k_1=0[/inlmath] i [inlmath]k_2=-\frac{3}{4}[/inlmath]. Naravno, za svaku od te dve vrednosti [inlmath]k[/inlmath] treba da odrediš koliki će biti slobodan član [inlmath]n[/inlmath] u jednačini sečice, a to ti je najjednostavnije da uradiš koristeći uslov pripadnosti tačke [inlmath]A\left(15,-5\right)[/inlmath] sečici.

A evo i ilustracije zbog čega imamo dva rešenja:


Naime, iz zadate tačke je moguće povući dve sečice takve da na datoj kružnici odsecaju tetive zadate dužine.

Crtao sam tu sliku u geogebri. Nije mi jasno ako prava sadrzi tacku [inlmath]A[/inlmath] kako doci do ovoga tvoga oblika valjda treba ovako kako sam ja dole napisao ovo trece
[dispmath]A(15,-5)[/dispmath][dispmath]y=k(x-15)-5[/dispmath][dispmath]-5=15k+n[/dispmath]

Jasno mi je sada u pitanju je jednacina prave korz jednu tacku sa koeficjentom
[dispmath]y-y_1=k(x-x_1)[/dispmath]