MATEMANIJA

Pozdrav za forumase nalatio sam na jos jedan zadatak koji ne znam uraditi.

Naci geometrijsko mjesto tacaka u ravni [inlmath]Oxy[/inlmath] iz kojih se kruznica vidi pod pravim uglom.
[dispmath]x^2+y^2=r^2[/dispmath]
Ovde mi uopste nista nije jasno sta se podrazumjeva pod tim da se kruznica vidi pod pravim uglom? Ja sam nesto pokusavo preko talesove teoreme ali nije mi se dalo. Eto ako neko moze da pomogne da mi neke upute ili rijesi ga ne bi bilo lose jer ja stvarno nemam ideje...

Evo, to znači – ovo:


Iz tačke [inlmath]A[/inlmath] se kružnica [inlmath]k[/inlmath] vidi pod pravim uglom.

Što si bliže centru kružnice, kružnicu ćeš videti pod većim (tupljim) uglom. Kako se udaljavaš od centra kružnice, kružnicu ćeš videti pod sve manjim (oštrijim) uglom. Na tačno određenom rastojanju od kružnice određenog poluprečnika, kružnicu ćeš videti pod tačno pravim uglom. Treba da odrediš koliko je to rastojanje u zavisnosti od poluprečnika kružnice, a onda ćeš vrlo lako naći i geometrijsko mesto tačaka.

Sad jasnije malo?

Pomogo si mi sa time mene je i to bunilo. Po mome najlakse je povuci dva poluprecnika koji su normalni na prave i napraviti dva torugla.Pa dokazati da su dva trougla podudarna. I onda imamo kvadrat sa stranicom [inlmath]r[/inlmath] a rastojanje je dijagonala kvadrata.
[dispmath]d(C,A)=\sqrt 2r[/dispmath][dispmath]x^2+y^2=2r^2[/dispmath]
Ovo je nacin kada se zna da je geometrijsko mjesto kruznica. E sada ne znam da li ima ovakvih slicnih slucajeva kako geometrijsko mjesto nije ni nikakva geometrijska figura. I kako onda? Za ovo se moglo logicki zakljuciti da je kruznica.

Moze se ovo raditi i na komplikovaniji nacin.Uzmes proizvoljnu tacku i preko uslova da je prava tangenta kruznice svedes na jednacinu po [inlmath]k[/inlmath]. Pa preko vijetovih formula [inlmath]q=k_1k_2[/inlmath] to je potrebno jer za uslov normalnosti proizvod koeficjenata mora biti [inlmath]-1[/inlmath]. Ali isto se dobije.Ono prvo je 10 puta brze.

Gamma je napisao:Po mome najlakse je povuci dva poluprecnika koji su normalni na prave i napraviti dva torugla.Pa dokazati da su dva trougla podudarna. I onda imamo kvadrat sa stranicom [inlmath]r[/inlmath] a rastojanje je dijagonala kvadrata.
[dispmath]d(C,A)=\sqrt 2r[/dispmath][dispmath]x^2+y^2=2r^2[/dispmath]

Čak i ne moraš posmatrati trouglove. Nakon što si povukao dva poluprečnika normalna na prave, uočiš na sledećoj slici


da četvorougao [inlmath]APCQ[/inlmath] ima tri prava ugla. Samim tim, mora i četvrti njegov ugao biti prav, a to onda znači da je u pitanju pravougaonik. A pošto taj pravougaonik ima jednake susedne stranice ([inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath]), to znači da je taj pravougaonik, zapravo, kvadrat stranice [inlmath]r[/inlmath]. Traženo rastojanje [inlmath]AC[/inlmath] predstavljaće njegovu dijagonalu, koja iznosi [inlmath]r\sqrt 2[/inlmath].

Gamma je napisao:Ovo je nacin kada se zna da je geometrijsko mjesto kruznica. E sada ne znam da li ima ovakvih slicnih slucajeva kako geometrijsko mjesto nije ni nikakva geometrijska figura. I kako onda? Za ovo se moglo logicki zakljuciti da je kruznica.

U situacijama kad ne možeš logički zaključiti da je geometrijsko mesto kružnica, kao ni bilo kakav drugi poznati oblik, uvek možeš raditi na onaj drugi način koji si napisao u prethodnom postu – postaviš proizvoljnu tačku i napišeš jednačine za uslove koji treba da budu ispunjeni. U ovom konkretnom zadatku taj način bi bio teži, kako si i sâm primetio, ali ima zadataka u kojima bi takav način i bio jedini mogući.