MATEMANIJA

Pozz sa sve. Evo naletio sam na jedan malo tezi zadatak za mene. Mada vecina ovih zadataka sa geometrijskim mjestom tacaka su malo tezi.

Naci geometrijsko mjesto centara krugova koji dodiruju kruznice
[dispmath]x^2+y^2=16[/dispmath][dispmath](x-2)^2+y^2=4[/dispmath]
U ovome zadatku mnogo toga mi nije jasno.Kada kaze krugovi koji dodiruju kruznice. Da li to znaci sa samo smiju dodirivati ove dvije kruznice u jednoj tacki? Znam da treba odabrati jednu proizvoljnu tacku pa preko nje doci do jednacine geometrijskog mjesta centara.Ali stvarno nemam pojma kako da je postavim preko proizvoljne tacke. Ovde imaju neke veze preko kojih se dobije jednacina geo. mjesta centara. Ali stvarno ne znam ni kako se doslo do ovoga i kako se preko ovoga doslo do jednacine elispe i prave. Najbolje bi bilo ako neko moze malo da mi pojasni kako se doslo do ove veze,i kako preko nje do jednacina?
[dispmath]r+2=\sqrt{(x-2)^2+y^2}[/dispmath][dispmath]4-r=\sqrt{x^2+y^2}[/dispmath]
i iz ovoga su se dobile jednacine geometrijskog mjesta centara krugova
[dispmath]8(x-2)^2+9y^2=72[/dispmath][dispmath]y=0[/dispmath]

Gamma je napisao:U ovome zadatku mnogo toga mi nije jasno.Kada kaze krugovi koji dodiruju kruznice. Da li to znaci sa samo smiju dodirivati ove dvije kruznice u jednoj tacki?

Pod dodirivanjem dve geometrijske figure smatra se slučaj kada te dve figure imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku. Prema tome, traži se geometrijsko mesto centara onih kružnica koje sa svakom od ove dve kružnice imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku. Ako bi neka kružnica s nekom od zadatih kružnica imala dve zajedničke tačke, to znači da se s njom ne bi dodirivala, već bi se s njom sekla.

Gamma je napisao:i iz ovoga su se dobile jednacine geometrijskog mjesta centara krugova
[dispmath]8(x-2)^2+9y^2=72[/dispmath][dispmath]y=0[/dispmath]

Prvi deo ovog rešenja je potpuno pogrešan, a to ću pokazati na kontraprimeru. Jednačina [inlmath]8\left(x-2\right)^2+9y^2=72[/inlmath] bi se, kad se obe strane podele sa [inlmath]72[/inlmath], mogla napisati i kao [inlmath]\frac{\left(x-2\right)^2}{3^2}+\frac{y^2}{\left(2\sqrt 2\right)^2}=1[/inlmath], a to je jednačina elipse čija je velika poluosa [inlmath]3[/inlmath], a mala poluosa [inlmath]2\sqrt 2[/inlmath] (na slici obeležena crveno):


Za proizvoljno uzetu tačku [inlmath]A[/inlmath] na toj elipsi, vidimo da ne bi bilo moguće konstruisati takvu kružnicu čiji bi centar bila ta tačka [inlmath]A[/inlmath], a koja bi istovremeno dodirivala obe zadate kružnice. Jer, ako bismo poluprečnik odabrali tako da ta kružnica dodiruje kružnicu [inlmath]x^2+y^2=16[/inlmath] (na slici je kružnica tog poluprečnika obeležena sa [inlmath]k_1[/inlmath]), tada ona drugu zadatu kružnicu, [inlmath]\left(x-2\right)^2+y^2=4[/inlmath], ne bi dodirivala, već bi je sekla u dvema tačkama. A ako bismo poluprečnik odabrali tako da ta kružnica dodiruje kružnicu [inlmath]\left(x-2\right)^2+y^2=4[/inlmath] (na slici je kružnica tog poluprečnika obeležena sa [inlmath]k_2[/inlmath]), tada ona ne bi imala zajedničke tačke s drugom zadatom kružnicom, [inlmath]x^2+y^2=16[/inlmath].

Drugi deo rešenja, [inlmath]y=0[/inlmath], samo delimično je tačan, jer bi se za [inlmath]\left(x,y\right)=\left(0,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(x,y\right)=\left(2,0\right)[/inlmath] kružnica poklopila s nekom od zadatih kružnica, tako da se s njom ne bi dodirivala, već bi s tom kružnicom imala sve zajedničke tačke. Znači, drugi deo rešenja bi trebalo napisati [inlmath]y=0,\:x\notin\left\{0,2\right\}[/inlmath].

Dobro to za elipsu mi je jasno da ne postoji slucaj da sjece obe kruznice. Ali ovo za ovu pravu [inlmath]y=0[/inlmath] malo me zbunjuje. Ti si reko da [inlmath]x[/inlmath] ne smije biti od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2[/inlmath]. Po mome to je nekako tacno kada je [inlmath]x[/inlmath] vece od dva mora postojati kruznice koja ce dirati ove kruznice u tacki [inlmath]T(4,0)[/inlmath].Ali ako je [inlmath]x[/inlmath] manje od [inlmath]0[/inlmath] ja samo vidim slucaj kada je [inlmath]x=-2[/inlmath] tada ce dirati obe kruznice. Po mome rjesenje bi trebalo biti [inlmath]x[/inlmath] od [inlmath]2[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath].. Sta ti kazes ?

Nisam za slučaj [inlmath]y=0[/inlmath] rekao da [inlmath]x[/inlmath] ne sme biti od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2[/inlmath]. Rekao sam samo da [inlmath]x[/inlmath] ne sme biti [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]2[/inlmath], a sme imati sve ostale vrednosti.
Za [inlmath]x=-2[/inlmath] postojaće čak dve kružnice takve da dodiruju obe zadate kružnice. Jedna je s poluprečnikom [inlmath]2[/inlmath] i ona će jednu kružnicu dodirivati u [inlmath]\left(-4,0\right)[/inlmath] a drugu u [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath], dok će druga kružnica s centrom u [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath] imati poluprečnik [inlmath]6[/inlmath] i ona će obe kružnice dodirivati u tački [inlmath]\left(4,0\right)[/inlmath].

Ali, [inlmath]y=0,\:x\notin\left\{0,2\right\}[/inlmath] nije jedino rešenje, to je samo deo rešenja. Traženo geometrijsko mesto obuhvata još tačaka.

---

Takođe, nisam rekao da na elipsi koju su oni dobili ne postoji nijedna tačka koja zadovoljava zadati uslov. Takve tačke postoje, ali elipsa nije geometrijsko mesto koje se traži jer ne ispunjavaju sve njene tačke traženi uslov.

Koliko sam ja shvatio poeanta ne postoji ni jedno geometrijsko mjesto centara kruznica za koje vrijedi ovaj uslov. Samo imaju ti neki posebni slucajevi ?

Ovde je greska 100% postoji elipsa kao geometrijsko mjesto tacaka ali oni su je pogresno napisali. Treba
[dispmath]8(x−1)^2+9y^2=72[/dispmath]
a ne
[dispmath]8(x−2)^2+9y^2=72[/dispmath]
Samo je problem kako doci do nje ?

Jeste, [inlmath]8(x−1)^2+9y^2=72[/inlmath] je tačno rešenje. S tim, da iz tog geometrijskog mesta treba izuzeti tačku [inlmath]\left(4,0\right)[/inlmath], zbog toga što koju god kružnicu da postaviš s centrom u [inlmath]\left(4,0\right)[/inlmath] a s poluprečnikom većim od nule (mora biti veći od nule, jer da je nula, to ne bi bila kružnica već tačka), nijedna od tih kružnica neće dodirivati obe zadate kružnice. Zbog toga moram da dopunim i svoje objašnjenje za [inlmath]y=0[/inlmath], tada mora biti ispunjeno [inlmath]x\not\in\left\{0,2,4\right\}[/inlmath].

Do jednačine elipse dolaziš tako što za proizvoljnu posmatranu tačku [inlmath]A\left(x,y\right)[/inlmath] odrediš njeno rastojanje od najbliže i od najdalje tačke svake od kružnica. Zatim ispitaš sva četiri slučaja – da je rastojanje do najbliže tačke jedne kružnice jednako rastojanju do najbliže tačke druge, zatim da je rastojanje do najbliže tačke jedne kružnice jednako rastojanju do najdalje tačke druge itd...


Sa slike se vidi da je rastojanje proizvoljne tačke [inlmath]A\left(x,y\right)[/inlmath] do najbliže tačke kružnice s centrom u [inlmath]C\left(p,q\right)[/inlmath] i poluprečnikom [inlmath]r[/inlmath] jednako [inlmath]d'=\left|\sqrt{\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2}-r\right|[/inlmath], dok je njeno rastojanje do najdalje tačke iste kružnice jednako [inlmath]d''=\sqrt{\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2}+r[/inlmath].

Dakle, u ovom zadatku razmatraš slučajeve [inlmath]d_1'=d_2'[/inlmath], [inlmath]d_1'=d_2''[/inlmath], [inlmath]d_1''=d_2'[/inlmath] i [inlmath]d_1''=d_2''[/inlmath] i na kraju nađeš unije tih rešenja... Dosta posla...

Hvala Daniele pomogao si mi sa ovim makar sada imam malo pojma o ovome. A i sto se tice ovoga zadatka ovo izlazi iz okvira srednjoskolskog gradiva jer nismo elipsu ciji centar je van kordinatnog pocetka.A ovo je zadatak sa pripremne nastave stvarno sumljam da ce ovako nesto dati na prijemnom ispitu,jeste da daju oni teskih zadataka ali sve to uvjek bude u okviru srednjoskolskog gradiva.

Jednačinu bilo koje krive čiji je centar van koordinatnog početka, u nekoj tački [inlmath]C\left(p,q\right)[/inlmath], možeš lako odrediti ako znaš jednačinu te krive kada joj je centar u koordinatnom početku – svuda gde imaš [inlmath]x[/inlmath] umesto njega napišeš [inlmath]x-p[/inlmath], a svuda gde imaš [inlmath]y[/inlmath] umesto njega napišeš [inlmath]y-q[/inlmath].
Primera radi, ako imaš, lupam, neku krivu [inlmath]\frac{\sin y}{x^2}=e^{2y}+x-3[/inlmath], pa je zatim transliraš ulevo za [inlmath]5[/inlmath] i nagore za [inlmath]2[/inlmath], tada će joj nova jednačina glasiti [inlmath]\frac{\sin\left(y-2\right)}{\left(x+5\right)^2}=e^{2\left(y-2\right)}+\left(x+5\right)-3[/inlmath].
Isto to, naravno, važi i za elipsu čiji se centar ne nalazi u koordinatnom početku, već u nekoj tački [inlmath]C\left(p,q\right)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\left(x-p\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-q\right)^2}{b^2}=1[/dispmath]
Za koji faks je ova pripremna nastava?

Ovo je sa gradjavine mada ja planiram upisivati etf u Banjaluci.Uzeo sam malo ove zadatke jer sam primjetio da dosta ima bas istih zadataka sto budu na prijemnom na etf-u iz ove skripte. Pa mozda koji ubodem