MATEMANIJA

Pozdrav za sve forumase! Evo naletio sam na jos jedan zadatak koji me zbunjuje.

Napisati jednacinu tetive hiperbole koju polovi tacka [inlmath]A(5,1)[/inlmath]
[dispmath]4x^2-9y^2=36[/dispmath]
Problem je u tome sto je jedini nacin koji ja znam je da postavim ove dvije jednacine preko ovoga:
[dispmath]X_A+X_B=5[/dispmath][dispmath]Y_A+Y_B=1[/dispmath]
I jer te tacke pripadaju hiperboli postavim dva sistema sa dvije nepoznate i rijesim ga.Pa poslije kada imam dvije tacke odredim jednacinu prave korz dvije tacke. Ali po mome to je malo suludo stvarno ima puno pisati cak i kada ga rjesim dobijem viska rjesenja a i vrlo je lako tu pogrjesiti. Jedina stvar koja mene interesuje je, da li postoji neki jednostavniji nacin za rjesavanje. Mislim na neki geometrijski nesto docrtam ili sta vec ? Po mome mora postojati ja sam probavao stvasta preko tangensa ugla prve ali mi nije islo. Pa ako neko zna nek mi samo da ideju i malo to skicira, ne treba citav zadatak raditi.

Prvo, loš ti je izbor oznaka za tačke preseka prave i hiperbole. Označio si ih sa [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], iako je oznaka [inlmath]A[/inlmath] već iskorišćena za tačku koja polovi tetivu hiperbole. O tome treba voditi računa. Označimo zato te dve tačke, recimo, sa [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath].

Drugo, nije [inlmath]x_M+x_N=5[/inlmath] i [inlmath]y_M+y_N=1[/inlmath], već je [inlmath]\frac{x_M+x_N}{2}=5[/inlmath] i [inlmath]\frac{y_M+y_N}{2}=1[/inlmath]. Dakle, aritmetičke sredine.

Ja bih ovo ovako radio. Prvo napišeš jednačinu prave koja sadrži tačku [inlmath]A\left(5,1\right)[/inlmath] a u kojoj figuriše samo koeficijent pravca [inlmath]k[/inlmath]. Ta jednačina će glasiti
[dispmath]y=k\left(x-5\right)+1[/dispmath]
Zatim to uvrstiš u jednačinu hiperbole i dobiješ
[dispmath]4x^2-9\left[k\left(x-5\right)+1\right]^2=36[/dispmath]
Posle sređivanja ćeš dobiti kvadratnu jednačinu po [inlmath]x[/inlmath], a s parametrom [inlmath]k[/inlmath],
[dispmath]x^2\left(4-9k^2\right)+18kx\left(5k-1\right)-45\left(5k^2-2k+1\right)=0[/dispmath]
čija će rešenja, [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath], predstavljati [inlmath]x[/inlmath]-koordinate krajeva tražene tetive.

Pošto nam je [inlmath]x_1+x_2[/inlmath] poznato i iznosi [inlmath]10[/inlmath], primenom jedne od Vietovih formula, [inlmath]x_1+x_2=-\frac{b}{a}[/inlmath], dobićemo neki izraz u funkciji od [inlmath]k[/inlmath], zatim taj izraz izjednačimo sa [inlmath]10[/inlmath] i odatle nađemo [inlmath]k[/inlmath]... Eto, ostavljam tebi da dovršiš...

Hvala Daniele ovo je dosta jednostavnije i brze od onoga sto sam ja radio. Ne znam ni ja sto sam zaboravio dodati polovine kod onih jednacina a dodao sam kada sam racunao u svesci.To je onaj slucaj kada je [inlmath]\lambda=1[/inlmath].Naravno dovrsio sam zadatak i rjesenje je tacno nema sta. Cak se i ne dobija visak rjesenja,samo jedno se dobije [inlmath]k=\frac{20}{9}[/inlmath]
[dispmath]y-y_0=k(x-x_0)[/dispmath][dispmath]y-1=\frac{20}{9}(x-5)[/dispmath][dispmath]9y-9=20x-100[/dispmath][dispmath]20x-9y+9-100=0[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{20x-9y-91=0}[/dispmath]