MATEMANIJA

Pozdrav za sve.Evo naletio sam ja jedan zadatak koji mi se ne da uraditi nikako.

Koja od parabola [inlmath]y^2=2px[/inlmath] sjece kruznicu [inlmath](x+3)^2+y^2=72[/inlmath] pod pravim uglom.

Poenta je naci [inlmath]p[/inlmath]. Pokusavao sam preko uslova tangente kruznice i parabole i preko koeficjenata i formule za koeficjent tangente na parabolu [inlmath]k_p=\frac{p}{y_0}[/inlmath]. I ovo sve kada povezem uvjek imam vise nepoznatih od broja jednacina. E sada ako neko samo moze idejno da mi kaze kako do [inlmath]p[/inlmath]. Sta treba uraditi? Koju jednacinu postaviti ili sta vec?

Možeš uočiti da tangenta na parabolu kroz tačku preseka s kružnicom sadrži centar kružnice. Znajući taj podatak, možeš vrlo lako doći do jednačine te tangente u zavisnosti od njenog koeficijenta pravca [inlmath]k[/inlmath]. Iz uslova da ta tangenta s parabolom ima samo jednu zajedničku tačku, nađi vezu između [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath].
(Zbog simetričnosti slike u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, ispitivanje možeš svesti na deo iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose, a sve to će, naravno, važiti i za deo ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose.)

Ukoliko bude trebala dodatna pomoć, napiši nam ovde sve jednačine koje si dobio.

Po tvome treba da upotrijebim [inlmath]y=kx+n[/inlmath] i [inlmath]p=2kn[/inlmath] ali ni to nije dovoljno.
[dispmath]0=-3k_1+n_1[/dispmath][dispmath]n_1=3k_1[/dispmath]
pa onda
[dispmath]p=2k_1\cdot 3k_1[/dispmath][dispmath]p=6k_1^2[/dispmath]
i jos kada postavim uslov tangente kruznice dobijem
[dispmath]72\left(k_2^2+1\right)=(n_2-3k_2)^2[/dispmath]
ponovo fali mi [inlmath]n_2[/inlmath]. Kako do njega doci ? I kada bi znao [inlmath]n_2[/inlmath] nasao bi [inlmath]k_2[/inlmath] i preko uslova [inlmath]k_1k_2=-1[/inlmath] izracunam [inlmath]k_1[/inlmath] i kada znam [inlmath]k_1[/inlmath] lako je naci [inlmath]p[/inlmath]. I kada znam [inlmath]p[/inlmath] jednacina parabole je odredjena.

Gamma je napisao:[dispmath]0=-3k_1+n_1[/dispmath][dispmath]n_1=3k_1[/dispmath]

Dakle,
[dispmath]y=k_1x+n_1[/dispmath][dispmath]y=k_1x+3k_1[/dispmath][dispmath]\underline{y=k_1\left(x+3\right)}[/dispmath]

Gamma je napisao:[dispmath]p=2k_1\cdot 3k_1[/dispmath][dispmath]p=6k_1^2[/dispmath]

Gamma je napisao:i jos kada postavim uslov tangente kruznice dobijem
[dispmath]72\left(k_2^2+1\right)=(n_2-3k_2)^2[/dispmath]

Tangenta kružnice ti ne treba.

Na osnovu ove dve jednačine koje si dobio,
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
y=k_1\left(x+3\right)\\
p=6k_1^2
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\left.\begin{array}{l}
y^2=k_1^2\left(x+3\right)^2\\
k_1^2=\frac{p}{6}
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\underline{y^2=\frac{p}{6}\left(x+3\right)^2}[/dispmath]
U ovoj jednačini su ti nepoznate [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath]. Znači, tri nepoznate. Trebaju ti još dve jednačine, a njih imamo – to su zadate jednačine parabole i kružnice. Znači, imamo sistem:
[dispmath]y^2=\frac{p}{6}\left(x+3\right)^2\\
y^2=2px\\
(x+3)^2+y^2=72[/dispmath]
Ostaje samo da rešiš taj sistem i, uz odbacivanje rešenja [inlmath]p=0[/inlmath] (jer u tom slučaju ne bismo imali parabolu), dobićeš [inlmath]x=3,\:y=\pm 6,\:\underline{p=6}[/inlmath].

Hvala Daniel ovaj nacin nikada ne bi mi pao na pamet.Rjesio sam sistem i rjesenja su se poklopila.Ovaj tvoj nacin nije los malo je sistem drugaciji od ovih klasicnih sistema ali da se rjesiti a i nije dug nacin rjesavanja.E sada ne znam sta ti kazes preko uslova tangente kruznice i uslova da su prave normalne preko koeficjenata da li bi se moglo sta iskombinovati. Ako bi moglo,da li bi bilo komplikovaije za rjesavati?

Da, bilo bi komplikovanije. Morao bi da nađeš koordinate presečnih tačaka, dobio bi [inlmath]x=\sqrt{p^2+6p+72}-p-3[/inlmath] (odbacio bi negativno rešenje za [inlmath]x[/inlmath] jer se iz jednačine parabole, [inlmath]y^2=2px[/inlmath], vidi da [inlmath]x[/inlmath] ne može biti negativno), a za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu preseka bi dobio [inlmath]y=\pm\sqrt{2p}\sqrt{\sqrt{p^2+6p+72}-p-3}[/inlmath], pri čemu se [inlmath]\pm[/inlmath] pojavljuje jer imamo dve tačke preseka, simetrične u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu. Zbog simetrije, možemo posmatrati samo deo iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose, pri čemu umesto [inlmath]\pm[/inlmath] uzimamo plus.

Napišemo jednačine tangenti na parabolu i na kružnicu, znajući da te tangente sadrže tačku s malopre izračunatim koordinatama, kao i da je [inlmath]k_2=-\frac{1}{k_1}[/inlmath], i dobijemo:
[dispmath]\mbox{parabola:}\quad y-\sqrt{2p}\sqrt{\sqrt{p^2+6p+72}-p-3}=k_1\left(x-\sqrt{p^2+6p+72}+p+3\right)[/dispmath][dispmath]\mbox{kružnica:}\quad y-\sqrt{2p}\sqrt{\sqrt{p^2+6p+72}-p-3}=-\frac{1}{k_1}\left(x-\sqrt{p^2+6p+72}+p+3\right)[/dispmath]
odakle sledi da je za tangentu parabole
[dispmath]n_1=\sqrt{2p}\sqrt{\sqrt{p^2+6p+72}-p-3}-k_1\left(\sqrt{p^2+6p+72}-p-3\right)[/dispmath]
a za tangentu kružnice
[dispmath]n_2=\sqrt{2p}\sqrt{\sqrt{p^2+6p+72}-p-3}+\frac{\sqrt{p^2+6p+72}-p-3}{k_1}[/dispmath]
Uvrstiš to u uslove tangenti parabole i kružnice, [inlmath]p=2kn[/inlmath] i [inlmath]r^2\left(k^2+1\right)=\left(-kp+q-n\right)^2[/inlmath], i dobićeš sistem od dve jednačine s dve nepoznate,
[dispmath]p=2k_1\left[\sqrt{2p}\sqrt{\sqrt{p^2+6p+72}-p-3}-k_1\left(\sqrt{p^2+6p+72}-p-3\right)\right][/dispmath][dispmath]72\left(\frac{1}{k_1^2}+1\right)=\left[-\frac{3}{k_1}-\sqrt{2p}\sqrt{\sqrt{p^2+6p+72}-p-3}-\frac{\sqrt{p^2+6p+72}-p-3}{k_1}\right]^2[/dispmath]
koji prepuštam tebi da rešavaš ako te ne mrzi (mene, iskreno, mrzi), ja sam samo proverio da li je uvrštavanjem vrednosti koje treba da se dobiju ([inlmath]k_1=1,\:p=6[/inlmath]) sistem zadovoljen – i, jeste, zadovoljen je.

Ipak ti, zbog jednostavnosti računa, preporučujem onaj način koji sam ti pokazao u prethodnom postu.