MATEMANIJA

Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži točke [inlmath]A(1,2,-1)[/inlmath] i [inlmath]B(-1,0,3)[/inlmath] i koja je okomita na ravninu [inlmath]-2y-z+3=0[/inlmath].

Dakle, vrijedi:
[dispmath]\pi...\;Ax+By+Cz+D=0\\
\pi_1...\;-2y-z+3=0[/dispmath][dispmath]\vec n=(A,B,C)\\
\vec n_1=(0,-2,-1)[/dispmath][dispmath]\vec n\perp\vec n_1\\
\vec n\cdot\vec n_1=0[/dispmath]
... kako doći do jednadžb ravnine?

Koordinate svake od tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] uvrstiš u jednačinu tražene ravni (budući da ih ista sadrži):
[dispmath]A+2B-C+D=0\\
-A+3C+D=0[/dispmath]
To su dve jednačine s četiri nepoznate. Treću jednačinu dobiješ iz uslova koji si već i napisao, da skalarni proizvod vektora normala tražene i zadate ravni treba da bude nula (budući da su te dve ravni međusobno normalne, a samim tim su međusobno normalni i njihovi vektori normala, što znači da je njihov skalarni proizvod nula).
[dispmath]0\cdot A-2B-C=0[/dispmath]
i to je sistem od tri jednačine s četiri nepoznate, što je dovoljno da možeš odrediti jednačinu tražene ravni. Nek te ne zbunjuje to što imamo jednu jednačinu manje nego što imamo nepoznatih – potrebno je da nepoznatu [inlmath]D[/inlmath] posmatraš kao konstantu i da preko nje izraziš preostale tri nepoznate. Na kraju ćeš dobiti jednačinu ravni oblika
[dispmath]-5Dx+Dy-2Dz+D=0[/dispmath]
to jest
[dispmath]D\left(-5x+y-2z+1\right)=0[/dispmath]
pri čemu za [inlmath]D[/inlmath] možeš uzeti bilo koju vrednost. To je i logično, jer u jednačini ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath] uvek možeš obe strane pomnožiti ili podeliti bilo kojim brojem – to ostaje ista ta ravan. Drugim rečima, ako sva četiri koeficijenta ([inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]) pomnožiš ili podeliš istom vrednošću, dobićeš jednačinu iste te ravni, samo drugačije napisanu.