MATEMANIJA

Prijemni ispit GRF – 2. jul 2013.
7. zadatak

Tacke [inlmath]A(1,1)[/inlmath], [inlmath]B(3,4)[/inlmath], [inlmath]C(4,6)[/inlmath] i [inlmath]D(a,b)[/inlmath] su redom tjemena paralelograma [inlmath]ABCD[/inlmath]. Tada je [inlmath]a-b[/inlmath] jednako?
Odgovor kaze [inlmath]-1[/inlmath].

I kada crtam koordinatni sistem i ubacim ove tacke i nacrtam paralelogram sa datim tackama dobijem da je [inlmath]a=2[/inlmath] i [inlmath]b=3[/inlmath] ali kada pokusam analiticki preko udaljenosti tacaka ne mogu nikako da dobijem rijesenje...

Jesi li siguran da si dobro prepiso kordinate ovih tačaka? I nije mi jasno kako si došo do ovoga da je [inlmath]a=2[/inlmath] i [inlmath]b=3[/inlmath].

Pretpostavljam da se ovaj prvi način, na koji dobijaš tačno rešenje, svodi na to da napišeš jednačine
[dispmath]x_B-x_A=x_C-x_D\\
y_B-y_A=y_C-y_D[/dispmath] i onda uvrstiš poznate vrednosti i dobiješ [inlmath]x_D[/inlmath] i [inlmath]y_D[/inlmath], to jest [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. To je i najjednostavniji, a i sasvim ispravan način. Rešenje [inlmath](a,b)=(2,3)[/inlmath] je tačno.

---

Da li pod tim drugim načinom preko udaljenosti tačaka podrazumevaš to da si pošao od [inlmath]d(A,B)=d(D,C)[/inlmath] i [inlmath]d(A,D)=d(B,C)[/inlmath]? Ako radiš na taj način, dobićeš na kraju kvadratnu jednačinu i, samim tim, dva rešenja – jedno tačno i jedno netačno. Ovo netačno dobijaš zbog toga što si uzeo u obzir samo uslove udaljenosti, ali ne i uslove paralelnosti [inlmath]\overline{AB}\parallel\overline{DC}[/inlmath] i [inlmath]\overline{AD}\parallel\overline{BC}[/inlmath]. Pretpostavljam da je to ono što ti pravi problem, ali ne mogu ti ništa sa sigurnošću reći dok ne vidim tvoj postupak...

ja sam radio preko formule [inlmath]d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/inlmath] i ispostavilo se da nije tacno, ali evo radio sam preko ove jednacine [inlmath]x_B-x_A=x_C-x_D[/inlmath] i tako za [inlmath]y[/inlmath] i tacno je. Hvala na vremenu i pomoci oko zadatka

Mora se moći i uraditi ovaj zadatak preko formule za distancu. Na kraju treba da dobiješ kvadratnu jednačinu i da imaš dva para rješenja. Jeste da je ovaj drugi način dosta duži ali isto tačan je i imaćeš viška jedno rješenje.

A u ovom slucaju izgleda da je ova formula bolje rijesenje. Pokusacu uraditi jos koji put preko distance.
Hvala jos jednom na razradi zadatka

Daniele ako može još jedno pitanje. Da li postoji slučaj kod paralelograma da važe dva rješenja a ne samo jedno kao ovde kod nas? Tj. Da li postoji slučaj u kojeme će dvije tačke moći napraviti dva paralelograma?

Gamma je napisao:Tj. Da li postoji slučaj u kojeme će dvije tačke moći napraviti dva paralelograma?

Dve tačke mogu napraviti beskonačno mnogo paralelograma.

A ako si hteo da pitaš za tri tačke, uzmi i konstruiši paralelogram kada su ti data tri njegova (nekolinearna) temena, pa će ti se sâmo kas'ti da l' može biti više od jednog rešenja.

Opet sam postavio malo konfuzno pitanje. Mislio sam da li postoji zadatak isti ovakav a da oba dobivena rješenja budu tačna? Tj. da postoje 2 četvrta tjemena koja će napraviti paralelogram? Nisam skontao ovaj tvoj odgovor.

U ovom slucaju moze da bude samo jedno rjesenje, i to su koordinate [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath]. Nacrtaj koordinatni sistem i uvrsti ove 3 tacke i cetvrtu tacku nadjes tako sto ce ti duz [inlmath]BC\parallel AD[/inlmath] i [inlmath]AB\parallel DC[/inlmath] i vidjeces i sam koje su tacke

Nacrto sam sada jednu precizniju skicu pa mislim da mi je ovo tek sada jasno. Čak uspio sam zadatak uraditi i na ovaj drugi način i ucrtati koordinate druge tačke. Dužine jesu iste ali uopšte se ne dobije paralelogram (nema paralelnosti suprotnih stranica).

Dakle, pošto konstrukcijski tačku [inlmath]D[/inlmath] nalaziš u preseku dve prave (jedne koja sadrži tačku [inlmath]A[/inlmath] i paralelna je sa stranicom [inlmath]BC[/inlmath], i druge koja sadrži tačku [inlmath]C[/inlmath] i paralelna je sa stranicom [inlmath]AB[/inlmath]), a znaš da presek dve komplanarne neparalelne prave predstavlja tačno jednu tačku, otuda možeš zaključiti da se mora dobiti tačno jedno rešenje.