MATEMANIJA

Prijemni ispit GRF – 2. jul 2013.
10. zadatak

Prava [inlmath]x+y=2013[/inlmath] je tangenta parabole [inlmath]y=x^2+19x+m[/inlmath]. Koliko je [inlmath]m[/inlmath]?
Odgovor mi kaze [inlmath]2113[/inlmath].

U ovom zadatku sam pokusao napraviti sistem ove dvije jednacine nadajuci se da ce mi ostati jedno rjesenje. Trazio sam [inlmath]m_{1,2}[/inlmath] i nisam dobio nikakav cijeli broj. Ima li neko prijedlog da drugacije pocnem sa zadatkom?

Iskoristi činjenicu da izvod funkcije u nekoj tački predstavlja koeficijent pravca (nagib) tangente u toj tački funkcije.
Da bi rešio zadatak, treba da odrediš:

• koeficijent pravca (nagib) tangente [inlmath]x+y=2013[/inlmath];
• izvod funkcije [inlmath]y=x^2+19x+m[/inlmath].

Izjednačiš ta dva i na osnovu toga odrediš [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu tačke dodira parabole i tangente, zatim nađeš i njenu [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu, a zatim i parametar [inlmath]m[/inlmath].

Moze li se ovaj zadatak uraditi na ovakav nacin?
Izjednacim:
[dispmath]x+y=2013\;\Longrightarrow\;y=-x+2013[/dispmath] I uvrstim u: [inlmath]y=x^2+19x+m\;\Longrightarrow\;-x+2013=x^2+19x+m[/inlmath]
I dobijem:
[dispmath]-x^2-20x+2013-m=0[/dispmath] I sad preko diskriminante, [inlmath]b^2-4ac=0[/inlmath], uradim [inlmath]\underbrace{-x^2}_a\:\underbrace{-20x}_b\:\underbrace{+2013-m}_c=0[/inlmath]
I kada sve ovo uvrstim dobijem jednacinu
[dispmath]\left(-20^2\right)-4\cdot(-1)\cdot(2013-m)=0\\
\Longrightarrow\;4m=8452\;\Longrightarrow\;m=2113[/dispmath]

Može jer kada je [inlmath]D=0[/inlmath] to znači da ima prava samo jednu zajedničku tačku sa parabolom.