MATEMANIJA

Dat je trougao [inlmath]ABC[/inlmath] sa tjemenima [inlmath]A(0,0)[/inlmath], [inlmath]B(4,0)[/inlmath] i [inlmath]C(3,2)[/inlmath].U trougao [inlmath]ABC[/inlmath] upisan je pravougaonik [inlmath]MNPQ[/inlmath] maksimalne povrsine tako da tjemena [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath] leze na osi [inlmath]Ox[/inlmath]. Duzina dijagonale ovog pravougaonika jednaka je?
Odgovor kaze [inlmath]\sqrt{5}[/inlmath].

Moze neko prvo neku skicu da napravi, mozda bi mi poslije bilo lakse, jer pokusao sam da je crtam ali mi ne uspjeva i mislim da grijesim oko toga.

Hvala unaprijed.

Evo skice,


Potrebno je da odrediš [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] tako da površina tog upisanog pravougaonika bude maksimalna, a zatim, znajući te vrednosti, odrediš i dijagonalu (ili kao rastojanje [inlmath]MP[/inlmath], ili kao rastojanje [inlmath]NQ[/inlmath]).

Pogledaj ovaj zadatak, sličan je, mislim da će ti biti od pomoći.

Hvala mnogo, mozes mi samo reci preko kojeg programa radis ove skice?

Ja sam pokušavao raditi ovaj zadatak. Koliko ja znam površinu trebamo da predstavimo kao neku funkciju i izvod treba da izjednačimo sa nulom i da dobijemo maksimalnu vrijednost.I tada nađemo maksimalnu površinu.Meni problem je što ne znam kako da predstavim funkciju (površinu) preko jednoga parametra. Jedino znam da može [inlmath]P=c(b-a)[/inlmath].Sada kako naći izvod iz ovoga ne znam.Sigruno ima neki fazon da se ovo malo sredi.

@Gosha – ručno, pomoću programa Paint Shop Pro.

@Gamma, upravo tako, taj metod je i pokazan u tom zadatku na koji sam linkovao u prethodnom postu. Između parametara [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] postoji veza i treba je naći. Mislim da je najjednostavnije parametre [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] izraziti preko parametra [inlmath]c[/inlmath] i onda dobijemo izraz za površinu u zavisnosti samo od parametra [inlmath]c[/inlmath].

Upravo to sada i pokušavam ne znam kako da pronađem tu vezu. Probavao sam svašta od formule za distancu,pitagorine toreme,sličnosti trouglova. Ali nisam uspio da pronađem tu vezu. Imaš li ti neku ideju?

To što pominješ (formula za distancu, tj. Pitagorina teorema) dođe tek na samom kraju, kad si prethodno odredio [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]. Sve ti je lepo pokazano u toj temi na koju sam linkovao, stvarno ne znam zašto je ne pročitaš – za dve katete trougla (one koje se ne nalaze na [inlmath]Ox[/inlmath]-osi) treba da nađeš odgovarajuće jednačine pravca... To će ti pomoći da nađeš pomenutu vezu između parametara...

Pregeldo sam dva zadatka iz te teme.Pomoglo mi je malo. Ali nisam uspio završiti ovaj zadatak. Odredim ja jednačine kraka [inlmath]y=\frac{2}{3}x[/inlmath] i [inlmath]y=-2x+8[/inlmath] i uvrstim to u tjemena pravougaonika ali dođem do ovoga [inlmath]P=(b-a)\frac{2}{3}a[/inlmath] treba nekako [inlmath]b[/inlmath] izraziti preko [inlmath]a[/inlmath]. Postoji li način da se ovo uradi bez ta tri parametra? Mislim sa dva parametra jer kada imamo 3 zakomplikuje se.Ja sam probavao sa 2 parametra ali nije išlo.

Kao što napisah, najjednostavnije je [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] izraziti preko [inlmath]c[/inlmath].

Iz pripadnosti tačke [inlmath]Q\left(a,c\right)[/inlmath] pravcu [inlmath]y=\frac{2}{3}x[/inlmath] sledi da je [inlmath]c=\frac{2}{3}a[/inlmath], a odatle da je [inlmath]a=\frac{3}{2}c[/inlmath].
Iz pripadnosti tačke [inlmath]P\left(b,c\right)[/inlmath] pravcu [inlmath]y=-2x+8[/inlmath] sledi da je [inlmath]c=-2b+8[/inlmath], a odatle da je [inlmath]b=4-\frac{c}{2}[/inlmath].

I onda to što si dobio uvrstiš u [inlmath]P=c\left(b-a\right)[/inlmath] i dobićeš izraz za površinu u funkciji samo parametra [inlmath]c[/inlmath]...

@Daniel gledao sam onaj prethodni zadatak sto si linkovao i malo mi je bilo jasnije i imao sam par ideja kako zavrsiti, ali opet mi nije jasno kako ste dosli do ovih jednacina kraka koja su ujedno i pravci. Da li treba da gledam trougao [inlmath]AMQ[/inlmath] i trougao [inlmath]NBP[/inlmath] ili nesto drugo?

Imaš u analitičkoj geometriji formulu za jednačinu prave kada su ti poznate koordinate dve tačke koje pripadaju toj pravoj, [inlmath]A\left(x_A,y_A\right)[/inlmath] i [inlmath]B\left(x_B,y_B\right)[/inlmath]. Ta formula glasi
[dispmath]y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\left(x-x_A\right)[/dispmath]
Na taj način možeš naći jednačinu prave koja sadrži tačke [inlmath]A\left(0,0\right)[/inlmath] i [inlmath]C\left(3,2\right)[/inlmath]. Isto tako i jednačinu prave koja sadrži tačke [inlmath]B\left(4,0\right)[/inlmath] i [inlmath]C\left(3,2\right)[/inlmath].

---

Ali, čak i ako ne znaš tu formulu, jednačinu prave možeš jednostavno odrediti tako što kreneš od opšteg oblika jednačine prave, [inlmath]y=kx+n[/inlmath], u kojem treba da odrediš [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]. To činiš tako što u taj opšti oblik uvrštavaš vrednosti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] za svaku od dve poznate tačke:
Za tačku [inlmath]A\left(0,0\right)[/inlmath], kad uvrstimo [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]y=0[/inlmath], imamo [inlmath]0=0\cdot k+n[/inlmath]
Za tačku [inlmath]C\left(3,2\right)[/inlmath], kad uvrstimo [inlmath]x=3[/inlmath] i [inlmath]y=2[/inlmath], imamo [inlmath]2=3k+n[/inlmath]
što predstavlja sistem od dve jednačine s dve nepoznate ([inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]), koji zatim rešiš, a kad si odredio [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath], time si odredio i jednačinu prave koja sadrži [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath].
Isto i za pravu koja sadrži [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]...

Evo uspio sam završiti ovaj zadatak. Gosha de mi reci je li ovo zadatak sa prijemnog iz Beograda i ako jeste koliko je bodova nosio? Poznat mi je ovaj zadatak nekako.
Dobijem funkciju površine
[dispmath]P=-2c^2+4c\\
c_{\text{max}}=1\quad\Rightarrow\quad a=\frac{3}{2},\quad b=\frac{7}{2}\\
d^2=(b-a)^2+c^2\\
d^2=\left(\frac{7}{2}-\frac{3}{2}\right)^2+1^2\\
d^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2+1^2\\
d^2=2^2+1^2\\
d^2=4+1\\
d^2=5\\
\enclose{box}{d=\sqrt 5}[/dispmath]

Svaka cast
Jest da mi ne ide ovaj zadatak i nisam ga shvatio u potpunosti ali doce mi u glavu jednom
I da, ovo je sam prijemnog ispita za gradjevinski fakultet u Beogradu iz 2014-e godine, i ovo je poslednji zadatak sa ispita ( 20-i ) i nosi 6 poena.

Ipak predpostavio sam da mora nositi malo više poena.

@Gosha, slobodno pitaj to što ti je i dalje nejasno, pa ćemo i to što je preostalo razjasniti.

@Daniel malo me buni ovo kako smo dosli do obrasca za povrsinu, tj. [inlmath]P=c(b-a)[/inlmath] ali preptostavljam da je to jedna od formula za povrsinu preko koordinata.
I je li [inlmath]c_{\text{max}}[/inlmath] dobijam preko izvoda ili preko diskriminante? Ostalo mi je koliko toliko jasno, ali ipak trebam malo da ponovim analiticku geometriju

Da [inlmath]c_{\text{max}}[/inlmath] se dobije preko izvoda. A ova formula ti je očigledna jer je to formula za površinu pravougaonika.

E sada je sve leglo na mjesto
Hvala na rjesenju

Drago mi je da ti je sve leglo