MATEMANIJA

Tacka [inlmath]M(x,y)[/inlmath] na pravoj [inlmath]p\colon2x+y+2=0[/inlmath] najbliza je hiperboli [inlmath]7x^2-4y^2=28[/inlmath]. Tada je [inlmath]5y-5x[/inlmath] jednako?
Odgovor kaze [inlmath]24[/inlmath].

* MOD EDIT * – 18. zadatak sa prijemnog za Građevinski fakultet u Beogradu

Ja sam ovo poceo tako sto jednacinu prave napisem u eksplicitnom obliku, i onda napravim sistem od dvije jednacine (jednacina prave i jednacina hiperbole) ali kada dodjem do rjesavanja jednacine dodjem do negativnog korijena. Da li ima neka caka oko ove tacke [inlmath]M(x,y)[/inlmath]?

Rešavajući sistem od dve jednačine ti, zapravo, tražiš presečnu tačku hiperbole i prave (jer su rešenja tog sistema koordinate tačke koja istovremeno pripada i hiperboli i pravoj), ali to nije ono što se u zadatku traži. To što dobijaš negativnu potkorenu veličinu znači da hiperbola i prava nemaju presečne tačke. Što je i logično, jer, kada bi imale presečne tačke, onda ne bi imalo smisla govoriti o tački prave [inlmath]p[/inlmath] koja je najbliža hiperboli.

Tačku [inlmath]M[/inlmath] možeš odrediti na sledeći način:


Na slici ti je prava [inlmath]p\colon2x+y+2=0[/inlmath] predstavljena crveno, a hiperbola [inlmath]7x^2-4y^2=28[/inlmath] plavo.
Pravu [inlmath]p\colon2x+y+2=0[/inlmath] transliraj tako da dodirne bliži krak hiperbole (translirana prava koja dodiruje hiperbolu označena je na slici svetloplavo). Pravu transliraš tako što napišeš jednačinu nove, translirane prave u kojoj je koeficijent pravca [inlmath]k[/inlmath] jednak koeficijentu pravca originalne prave, dok slobodan član [inlmath]n[/inlmath] određuješ iz uslova dodira s hiperbolom (a uslov dodira je da diskriminanta kvadratne jednačine koju dobiješ izjednačavanjem jednačine hiperbole i jednačine translirane prave – bude nula).
Odrediš zatim tačku dodira te translirane prave s hiperbolom.
Kroz tu tačku povučeš pravu (na slici označenu zeleno) koja je normalna na pravu [inlmath]p\colon2x+y+2=0[/inlmath] i u preseku te dve prave nalaziće se tačka [inlmath]M[/inlmath].

Evo uspio sam uraditi ovaj zadatak. Je li i ovo sa prijemnog i ako jeste koliko nosi bodova? Ipak i ovo je malo teži zadatak. Ne bi bilo loše da svaki zadatak koji staviš sa prijemnog napišeš gore nešto o njemu. Mislim na ove stvari koliko bodova koji fax i ostalo. Možda će zatrebati nekad nekome.
Ja za tačku dobijem
[inlmath]\displaystyle M\left(\frac{-34}{15},\frac{38}{15}\right)[/inlmath]
[dispmath]5y-5x=5\cdot\frac{38}{15}-5\cdot\frac{-34}{15}=\frac{38}{3}+\frac{34}{3}=\frac{72}{3}=\enclose{box}{24}[/dispmath]

Sledeci zadaci ce imati onda napomenu koliko bodova i koji je fax

Ma napiši odma i za ovaj Ja uvijek napišem.

Ah, da, zaboravio sam za ovaj napisati
Ovo je 18-ti zadatak sa prijemnog za gradjevinu u Beogradu, i mislim da iznosi maksimalan broj bodova (6 bodova)

Ipak vidi se da je i ovo malo teži zadatak.

@Gamma, je li ti problem da mi napises cijeli postupak zadatka, nesto mi nije jasno kako doci do rjesenja. Hvala unaprijed

Ja mislio da si ga već uradio davno. Ova tema je malo zastarila uopšte ne mogu da pronađem list na kojem sam radio zadatak. Sigurno je to bilo u staroj svesci. Šta ti tačno nije jasno?

Znam da jeste zastarila, i ja sam ovu temu bacio u zaborav i nadjem opet zadatke i vidim da ga nisam uradio.
Pravo da ti kazem jasno mi je samo ono sto je Daniel skicirao, ali to ne znam da napisem i da izracunam analiticki.