MATEMANIJA

Tacka [inlmath]M(x,y)[/inlmath] na pravoj [inlmath]p\colon2x+y+2=0[/inlmath] najbliza je hiperboli [inlmath]7x^2-4y^2=28[/inlmath]. Tada je [inlmath]5y-5x[/inlmath] jednako?
Odgovor kaze [inlmath]24[/inlmath].

* MOD EDIT * – 18. zadatak sa prijemnog za Građevinski fakultet u Beogradu

Ja sam ovo poceo tako sto jednacinu prave napisem u eksplicitnom obliku, i onda napravim sistem od dvije jednacine (jednacina prave i jednacina hiperbole) ali kada dodjem do rjesavanja jednacine dodjem do negativnog korijena. Da li ima neka caka oko ove tacke [inlmath]M(x,y)[/inlmath]?

Rešavajući sistem od dve jednačine ti, zapravo, tražiš presečnu tačku hiperbole i prave (jer su rešenja tog sistema koordinate tačke koja istovremeno pripada i hiperboli i pravoj), ali to nije ono što se u zadatku traži. To što dobijaš negativnu potkorenu veličinu znači da hiperbola i prava nemaju presečne tačke. Što je i logično, jer, kada bi imale presečne tačke, onda ne bi imalo smisla govoriti o tački prave [inlmath]p[/inlmath] koja je najbliža hiperboli.

Tačku [inlmath]M[/inlmath] možeš odrediti na sledeći način:


Na slici ti je prava [inlmath]p\colon2x+y+2=0[/inlmath] predstavljena crveno, a hiperbola [inlmath]7x^2-4y^2=28[/inlmath] plavo.
Pravu [inlmath]p\colon2x+y+2=0[/inlmath] transliraj tako da dodirne bliži krak hiperbole (translirana prava koja dodiruje hiperbolu označena je na slici svetloplavo). Pravu transliraš tako što napišeš jednačinu nove, translirane prave u kojoj je koeficijent pravca [inlmath]k[/inlmath] jednak koeficijentu pravca originalne prave, dok slobodan član [inlmath]n[/inlmath] određuješ iz uslova dodira s hiperbolom (a uslov dodira je da diskriminanta kvadratne jednačine koju dobiješ izjednačavanjem jednačine hiperbole i jednačine translirane prave – bude nula).
Odrediš zatim tačku dodira te translirane prave s hiperbolom.
Kroz tu tačku povučeš pravu (na slici označenu zeleno) koja je normalna na pravu [inlmath]p\colon2x+y+2=0[/inlmath] i u preseku te dve prave nalaziće se tačka [inlmath]M[/inlmath].

Evo uspio sam uraditi ovaj zadatak. Je li i ovo sa prijemnog i ako jeste koliko nosi bodova? Ipak i ovo je malo teži zadatak. Ne bi bilo loše da svaki zadatak koji staviš sa prijemnog napišeš gore nešto o njemu. Mislim na ove stvari koliko bodova koji fax i ostalo. Možda će zatrebati nekad nekome.
Ja za tačku dobijem
[inlmath]\displaystyle M\left(\frac{-34}{15},\frac{38}{15}\right)[/inlmath]
[dispmath]5y-5x=5\cdot\frac{38}{15}-5\cdot\frac{-34}{15}=\frac{38}{3}+\frac{34}{3}=\frac{72}{3}=\enclose{box}{24}[/dispmath]

Sledeci zadaci ce imati onda napomenu koliko bodova i koji je fax

Ma napiši odma i za ovaj Ja uvijek napišem.

Ah, da, zaboravio sam za ovaj napisati
Ovo je 18-ti zadatak sa prijemnog za gradjevinu u Beogradu, i mislim da iznosi maksimalan broj bodova (6 bodova)

Ipak vidi se da je i ovo malo teži zadatak.

@Gamma, je li ti problem da mi napises cijeli postupak zadatka, nesto mi nije jasno kako doci do rjesenja. Hvala unaprijed

Ja mislio da si ga već uradio davno. Ova tema je malo zastarila uopšte ne mogu da pronađem list na kojem sam radio zadatak. Sigurno je to bilo u staroj svesci. Šta ti tačno nije jasno?

Znam da jeste zastarila, i ja sam ovu temu bacio u zaborav i nadjem opet zadatke i vidim da ga nisam uradio.
Pravo da ti kazem jasno mi je samo ono sto je Daniel skicirao, ali to ne znam da napisem i da izracunam analiticki.

Pokazaću ti kako da kreneš, tj. kako da nađeš tačku na hiperboli koja je najbliža pravoj.

Kao što sam napisao, potrebno je da pravu [inlmath]p\colon2x+y+2=0[/inlmath] transliraš tako da ona dodirne hiperbolu [inlmath]7x^2-4y^2=28[/inlmath]. Translirana prava, pošto je paralelna originalnoj, mora imati isti koeficijent pravca kao i originalna. Koeficijent pravca originalne prave odredimo tako što originalnu pravu napišemo u eksplicitnom obliku:
[dispmath]2x+y+2=0\quad\Longrightarrow\quad y=-2x-2\quad\Longrightarrow\quad\underline{k=-2}[/dispmath] Znači, jednačina translirane prave biće oblika
[dispmath]y=-2x+n[/dispmath] Potrebno je odrediti slobodan član [inlmath]n[/inlmath] tako da ta translirana prava dodiruje hiperbolu, tj. da ta prava i hiperbola imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku.
To znači da, kad uvrstimo [inlmath]y=-2x+n[/inlmath] u jednačinu hiperbole i dobijemo jednačinu po [inlmath]x[/inlmath], potrebno je da ta jednačina ima jedno i samo jedno rešenje:
[dispmath]7x^2-4(-2x+n)^2=28\\
7x^2-4\left(4x^2-4nx+n^2\right)-28=0\\
7x^2-16x^2+16nx-4n^2-28=0\\
-9x^2+16nx-4\left(n^2+7\right)=0[/dispmath] Ova kvadratna jednačina će imati jedno i samo jedno rešenje onda kada joj je diskriminanta jednaka nuli:
[dispmath]\left.D=(16n)^2-4\cdot9\cdot4\left(n^2+7\right)=0\quad\right/:16\\
16n^2-9n^2-63=0\\
7n^2=63\\
n^2=9\\
n=\pm3[/dispmath] Znači, postojaće dve prave paralelne pravoj [inlmath]p[/inlmath] koje će dodirivati hiperbolu – jedna prava dodiruje jedan krak hiperbole, a druga prava drugi krak hiperbole. Biramo onu pravu koja je bliža pravoj [inlmath]p[/inlmath].
Jednačina prave [inlmath]p[/inlmath] u eksplicitnom obliku je, kako sam već napisao, [inlmath]y=-2x-2[/inlmath], tj. slobodan član je jednak [inlmath]-2[/inlmath]. Od ove dve translirane prave, pravoj [inlmath]p[/inlmath] će biti bliža ona čiji je slobodan član bliži slobodnom članu prave [inlmath]p[/inlmath], tj. bliži broju [inlmath]-2[/inlmath]. Prema tome, to je ona prava čiji je slobodan član jednak [inlmath]-3[/inlmath]. Znači, dobili smo jednačinu translirane prave koja glasi [inlmath]y=-2x-3[/inlmath].

Sada je potrebno da nađeš dodirnu tačku translirane prave [inlmath]y=-2x-3[/inlmath] i hiperbole [inlmath]7x^2-4y^2=28[/inlmath]. Uvrstiš, dakle, [inlmath]y=-2x-3[/inlmath] u jednačinu hiperbole i rešiš kvadratnu jednačinu (dobićeš jedno rešenje, zbog prethodno postavljenog uslova da je diskriminanta te kvadratne jednačine jednaka nuli). Rešenje će biti [inlmath]x[/inlmath]-koordinata dodirne tačke. Odrediš zatim i [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu.

Da li bi umeo sad da kroz tu tačku postaviš pravu normalnu na pravu [inlmath]p[/inlmath]? Uslov normalnosti je da njen koeficijent pravca bude jednak negativnoj recipročnoj vrednosti koeficijenta pravca prave [inlmath]p[/inlmath]...