MATEMANIJA

Ispitat položaj ssfere [inlmath]S_1:\:(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=81[/inlmath] i ravni [inlmath]\pi:\:2x-2y+z=28[/inlmath], i ako imaju zajedničkih tačaka, odrediti njihove koordinate.
Dobio sa sam da je rastojanje centra od date ravni jednako [inlmath]R=9[/inlmath], pa zaključujemo da ravan dodiruje sferu spolja, tj. dodiruje je u jednoj tački.
E, sad za koordinate. Ja sam ovako rešavao, pa me interesuje da li može ovako:
Prava koja sadrži centar sfere i zajedničku tačku ravni i sfere je normalna na ravan (bar ja tako mislim, zbog analogije sa tangentom na krug), pa onda vektor sa početkom u centru sfere ([inlmath]C(1,2,3)[/inlmath] a čiji je završetak zajednička tačka(obeležimo je sa [inlmath]X[/inlmath]). Stoga, vektor [inlmath]\vec{CX}=k\cdot N_\alpha[/inlmath], gde je [inlmath]N_\alpha[/inlmath] normalni vektor date ravni. Pa kad to sve zamenimo dobijamo:
[dispmath]x=2k+1\\
y=-2k+2\\
z=3+k[/dispmath]
Zamenom u jednačinu ravni, imamo da je [inlmath]k=3[/inlmath] tj. [inlmath]X(7,-4,6)[/inlmath]

OK je, s tim što, ako si odredio rastojanje ravni i centra sfere bez određivanja koordinata njihove dodirne tačke, verovatno si koristio gotovu formulu za rastojanje tačke od ravni [inlmath]d=\frac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/inlmath], za koju baš nisam siguran da li je uvek priznaju kao nešto što je poznato.

Može se uraditi i bez korišćenja te formule, tako što odmah na početku uradiš to što si uradio na kraju – dakle, odmah kroz centar sfere povučeš pravu normalnu na ravan [inlmath]\pi[/inlmath] i odrediš koordinate presečne tačke te prave i ravni [inlmath]\pi[/inlmath] – te koordinate, kao što si i dobio, iznose [inlmath]\left(7,-4,6\right)[/inlmath]. I zatim odrediš rastojanje te tačke i centra sfere, a pošto se dobije da je to rastojanje jednako poluprečniku sfere, zaključujemo da je tačka s koordinatama [inlmath]\left(7,-4,6\right)[/inlmath] ujedno i dodirna tačka ravni i sfere. (Da je rastojanje bilo veće od poluprečnika sfere, zaključili bismo da ravan i sfera nemaju zajedničke tačke, a da je to rastojanje manje od poluprečnika sfere, zaključili bismo da presek ravni i sfere predstavlja kružnicu.)