MATEMANIJA

Kako da odredim projekciju npr. tacke [inlmath]M[/inlmath] na ravan koju odredjuju prave:
[dispmath]p=\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}[/dispmath][dispmath]q=\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}[/dispmath]

Ovo je način na koji bi mogao da počneš.
Navedene prave se nalaze u jednoj ravni, pa samim tim normalni vektor ravni ćebiti normalan na njih. Kako imaš vektore pravaca, vektor za kog znamo da je normalan je njihov vektorski proizvod. Posle toga odabereš neku tačku koja pripada jednoj od dve prave. Izabereš neku tačku [inlmath]X(x,y,z)[/inlmath] koja prpada ravni. Napraviš vektor između tačke [inlmath]X[/inlmath] i malo pre opisane tačke (koja pripada jednoj od pravi).
Znamo da je skalarni proizvod normalnog vektora i formiranog vektora jednak [inlmath]0[/inlmath].Tako dobiješ jednačinu ravni. Nakon toga posmatraš pravu koja prolazi kroz [inlmath]M[/inlmath] i koja prodire ravan. Logično, vektor pravca te prave je upravo normalni vektor ravni. Ako ti dalje ne bude bilo jasno, pitaj slobodno.

Po uslovu
[dispmath]\Delta=\left[\vec p,\vec q,\vec{PQ}\right]=0\quad\mbox{i}\quad\vec p\times\vec q=0[/dispmath]
sto znaci da su ove dve prave paralelne, cini mi se da to menja stvar?
Hvala unapred .....Da li bih ti mogao da pokazem zadatak posto mi je bas hitno<
Ovo vec je vektor a x oznaka za vektorski proizvod, nesto mi ne ide za rukom da napisem kako treba

Je l‘ možeš da ispišeš ceo zadatak, pa da vidimo da li znamo šta nam je činiti?

Odrediti projekciju tacke [inlmath]M(3,-4,-2)[/inlmath] na ravan koju odredjuju prave:
[dispmath]p=\frac{x-5}{13}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+3}{-4}[/dispmath][dispmath]q=\frac{x-2}{-26}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+3}{8}[/dispmath]

U pravu si,vektori pravaca su paralelni, pa ne možemo naći normalan vektor na gore opisan način. Ali možemo ovako:
[dispmath](13,1,-4)\cdot\vec N=0[/dispmath]
Izaberemo proizvoljno prvu koordinatu normalnog vektora, neka je to [inlmath]1[/inlmath]. Dobijamo da su ostale koordinate [inlmath]y=7[/inlmath] i [inlmath]z=5[/inlmath]. To ti je normalni vektor, ostalo se isto radi kao u opisanom postupku.

Mozda je glupo pitanje [inlmath]\vec N[/inlmath] jel' to vector ravni koju cine ove dve prave. Ako prva kordinata [inlmath]1[/inlmath], kako si nasao preostale dve koordinate. Da li ti je problem malo detaljnije objasnjenje? Unapred hvala!:-)

Da, vektor [inlmath]\vec N[/inlmath] je vektor normale (normalni vektor) ravni koje obrazuju ove dve prave. Pa kako mu samo ime kaže, taj vektor je normalan na ravan, tj. na prave koje mu pripadaju tj. na vektore pravca tih pravih, pa otuda:
[dispmath](13,1,-4)\cdot\vec N=0[/dispmath]
Je l‘ znaš zbog čega je ovaj skalarni proizvod jednak [inlmath]0[/inlmath]?
Dakle, imamo [inlmath](13,1,-4)\cdot(x,y,z)=0[/inlmath] tj. [inlmath]13x+y-4z=0[/inlmath]. E sad, ako izaberemo da je [inlmath]x=1[/inlmath], [inlmath]y=7[/inlmath], zatim dobijaš [inlmath]20-4z=0[/inlmath] tj. [inlmath]z=5[/inlmath]. Ti možeš za vrednosti [inlmath]x,y[/inlmath] da izabereš bilo koje realne brojeve, pa u zavisnosti od toga da računaš [inlmath]z[/inlmath]. Bitno je samo da je navedeni skalarni proizvod jednak nuli.

I nema glupih pitanja!

A kako uopste mozemo da izaberemo proizvoljne tacke [inlmath]x,y[/inlmath]?....skalarni proizvod mi je jasan, hvala?

Ja ne vidim drugi način za rešavanje , tako bih radio. Potrebno je samo pronaći vektor koji zadovoljava onaj uslov. Isto tako, i kod nalaženja normalnog vektora kada se on nalazi kao vektorski proizvod, može se ovako uraditi. Pronađi vektorski proizvod, a zatim nađi normalni vektor na ovaj način i videćeš da je jedan od drugog manji/veći [inlmath]k[/inlmath]-puta. Zaključuješ, naravno da su oni kolinearni, tj. za jednu ravan se sigurno može naći više od jednog normalnog vektora na spomenuti način. Dakle, i kada se normalni vektor traži kao vektorski proizvod, to nije jedini način. To radimo jer nam je tako "lakše", napišemo determinantu i odredimo normalan vektor.

Uradio sam ovaj zadatak, hvala:-)....Da li bi mogao da pogledas zadatak u temi projekcija prave na ravan, vec sam postavljao pitanja, ako mozes da se nadovezes? Unapred hvala:-)

Miladin Jovic je napisao:Dakle, imamo [inlmath](13,1,-4)\cdot(x,y,z)=0[/inlmath] tj. [inlmath]13x+y-4z=0[/inlmath]. E sad, ako izaberemo da je [inlmath]x=1[/inlmath], [inlmath]y=7[/inlmath], zatim dobijaš [inlmath]20-4z=0[/inlmath] tj. [inlmath]z=5[/inlmath]. Ti možeš za vrednosti [inlmath]x,y[/inlmath] da izabereš bilo koje realne brojeve, pa u zavisnosti od toga da računaš [inlmath]z[/inlmath]. Bitno je samo da je navedeni skalarni proizvod jednak nuli.

Nikako.

Evo da ilustrujem šta si postigao ovim postupkom:


Dakle, ovo su te dve paralelne prave sa svojim vektorima pravaca [inlmath]\left<13,1,-4\right>[/inlmath]. Postavljajući jednačinu [inlmath]\left<13,1,-4\right>\cdot\left<x,y,z\right>=0[/inlmath], mi nameštamo vektor [inlmath]\left<x,y,z\right>[/inlmath] da bude normalan na neku od te dve prave. Međutim, vektori koji su normalni na datu pravu obrazuju čitav jedan snop vektora (prikazan na slici), raspoređenih u ravni koja je normalna na tu pravu. Znači, pravac ovako postavljenog vektora [inlmath]\left<x,y,z\right>[/inlmath] nije određen, određeno je samo to da će on biti normalan na datu pravu.

Jednoj komponenti vektora [inlmath]\left<x,y,z\right>[/inlmath] možeš dodeliti proizvoljnu vrednost, to je tačno. Ali, ako bi i drugoj komponenti dodelio proizvoljnu vrednost, ti bi time nasumično odabrao neki od vektora iz ovog snopa. Ako se i bude desilo da je taj vektor normalan na ravan koji obrazuju ove dve paralelne prave – to će biti čista slučajnost.

---

Evo kako bih ja odredio vektor normale za ravan koju obrazuju ove dve paralelne prave.

Dakle, jednačine pravih su
[dispmath]p:\;\frac{x-5}{13}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+3}{-4}[/dispmath][dispmath]q:\;\frac{x-2}{-26}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+3}{8}[/dispmath]
Jedan vektor koji pripada toj ravni si ispravno odredio, to je vektor bilo koje od te dve prave, [inlmath]\left<13,1,-4\right>[/inlmath]. Ali, treba nam još jedan vektor.
Taj drugi vektor ćemo odrediti kao vektor između neke dve tačke koje pripadaju svakoj od te dve prave. Najjednostavnije nam je da izaberemo one tačke čije koordinate direktno možemo očitati iz ovih jednačina. Na pravoj [inlmath]p[/inlmath] to je tačka [inlmath]\left(5,6,-3\right)[/inlmath], a na pravoj [inlmath]q[/inlmath] to je tačka [inlmath]\left(2,3,-3\right)[/inlmath].
Vektor između te dve tačke biće, prema tome, [inlmath]\left<2-5,3-6,-3-\left(-3\right)\right>[/inlmath], tj. [inlmath]\left<-3,-3,0\right>[/inlmath]. Radi jednostavnijeg računa, možemo uzeti njemu kolinearan vektor [inlmath]\left<1,1,0\right>[/inlmath] (sve tri komponente smo podelili sa [inlmath]-3[/inlmath]).

E sad, pošto imamo dva vektora koja pripadaju traženoj ravni, [inlmath]\left<13,1,-4\right>[/inlmath] i [inlmath]\left<1,1,0\right>[/inlmath], odredimo njihov vektorski proizvod pa će to biti vektor normale tražene ravni. I dalje radimo onako kako si i napisao.

Za dalji postupak postoji i drugi način. Kad imamo vektor normale ravni, oblika [inlmath]\left<A,B,C\right>[/inlmath], tada znamo da će jednačina ravni biti oblika [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath]. Parametar [inlmath]D[/inlmath] odredimo tako što u jednačinu [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath] uvrstimo koordinate neke od poznatih tačaka koje pripadaju toj ravni, recimo da je to neka tačka [inlmath]\left(x_0,y_0,z_0\right)[/inlmath]. Dobijamo jednačinu po [inlmath]D[/inlmath] koja glasi [inlmath]Ax_0+By_0+Cz_0+D=0[/inlmath] i odatle dobijamo da je [inlmath]D=-Ax_0-By_0-Cz_0[/inlmath].