MATEMANIJA

Date su tacke [inlmath]A(1,2,3),\;B(2,-1,0),\;C(4,2,-2),\;D(1,5,m)[/inlmath]. Potrebno je da odredim [inlmath]m[/inlmath] tako da ove tacke budu komplanarne, i napisati jednacine ravni odredjene sa ovim tackama?
Da li bih morao da formiram dva vektora i preko vektorskog proizvoda da nadjem vektor normale prave, a zatim ponovo da formiram dva vektora tako da se u jednom od njih pojavi parametar [inlmath]m[/inlmath] i posto imam vektor normale ravni preko vektorskog proizvoda nadjem parametar [inlmath]m[/inlmath]?
I kada to uradim za svaku tacku posebno ispisem j-nu ravni?

Možeš da radiš na taj način, ispravan je.

A možeš da radiš i na ovaj: postavi ravan kroz tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], napiši jednačinu te ravni i zatim samo odredi parametar m takav da i tačka [inlmath]D[/inlmath] pripada toj ravni.

Ravan kroz tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] postavljaš tako što prvo napišeš jednačinu ravni u opštim brojevima, [inlmath]ax+by+cz+d=0[/inlmath], a zatim uvrštavaš [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]-koordinate svake od ove tri tačke, čime ćeš dobiti sistem od tri jednačine s četiri nepoznate ([inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath]) iz kojih je potrebno da svaku od prve tri promenljive – [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] – izraziš preko [inlmath]d[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{rrrrrr}
a & +2b & +3c & +d & = & 0\\
2a & -b & & +d & = & 0\\
4a & +2b & -2c & +d & = & 0\\
\end{array}[/dispmath]
Kad se ovaj sistem reši, dobije se
[dispmath]a=-\frac{15}{34}d,\quad b=\frac{2}{17}d,\quad c=-\frac{9}{34}d[/dispmath]
pa je jednačina ravni
[dispmath]-\frac{15}{34}dx+\frac{2}{17}dy-\frac{9}{34}dz+d=0[/dispmath]
Za [inlmath]d[/inlmath] možemo uzeti proizvoljnu vrednost. Najpogodnije je da uzmemo [inlmath]\mbox{NZS}[/inlmath] imenilaca, kako bismo se oslobodili razlomaka. [inlmath]\mbox{NZS}[/inlmath] je u ovom slučaju [inlmath]34[/inlmath]:
[dispmath]-\frac{15}{\cancel{34}}\cdot\cancel{34}x+\frac{2}{\cancel{17}}\cdot\cancel{34}^2y-\frac{9}{\cancel{34}}\cdot\cancel{34}z+34=0[/dispmath][dispmath]-15x+4y-9z+34=0[/dispmath]
Kako bi tačka [inlmath]D[/inlmath] pripadala ovoj ravni, potrebno je da uvrštavanjem njenih koordinata u jednačinu ravni, jednačina bude zadovoljena:
[dispmath]-15\cdot1+4\cdot5-9m+34=0[/dispmath][dispmath]-15+20-9m+34=0[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{m=-\frac{13}{3}}[/dispmath]