MATEMANIJA

Odrediti jednacinu kruznice koja prolazi kroz koordinatni pocetak, a prave [inlmath]3x-4y+8=0[/inlmath] i [inlmath]3x+4y+8=0[/inlmath] u joj tangente...

ja napravim tri jednacine...

[inlmath]p^2+q^2=r^2[/inlmath] - uslov da prolazi kroz koordinatni pocetak
i napravim jos dvije jednacine koji predstavljaju uslove da bi ove dvije prave bile tangente...

ali mi stvara problem sto [inlmath]y_1=-y_2[/inlmath] (te dvije tangente)

tako da kvadrati koeficijenata pravca su im jednaki... pa kod uslova tangencijalnosti ove lijeve strane su im jednake pa su i desne... ali ovamo na desnoj strani ima kvadrat koji kad korjenujem moram staviti apsoultne i to mi sve iskomplikuje

i to su tri jednacine sa tri nepoznate, ali ja konstantno pravim negdje gresku i rjesavanju tog sistema... pa ako neko moze da mi napise postupak rijesavanja tog sistema...

izgleda da je ono sto me je bunilu ustvari i odgovor na sve ovo...

ako su [inlmath]y_1=-y_2[/inlmath] njene tangente, one se sjeku u tacki [inlmath]y_1=0[/inlmath]... a kada to nacrtam graficki dobijem da i centar kruznice mora biti na pravoj [inlmath]y=0[/inlmath]

sada ostaje samo da jos nadjem poluprecnik i centar kruznice [inlmath]S(p;0)[/inlmath]

znam i da prolazi kroz kordinatni pocetak, to znaci da [inlmath]r=|p|[/inlmath]

zato sto je [inlmath]p[/inlmath] udaljenost koordinatnog pocetka do centra kruznice a to je ujedno i [inlmath]r[/inlmath] zato sto kruznica prolazi kroz koordinatni pocetak

na kraju kada sve ovo uvrstim u uslov tangencijalnost
[dispmath]q=0\\
r=|p|[/dispmath]
dobijem:
[dispmath]p_1=4\\
p_2=-1[/dispmath][dispmath]r_1=4\\
r_2=1[/dispmath]
tako da imamo dvije kruznice koje zadovoljavaju pocetne uslove

Upravo tako... i ne samo što se seku na [inlmath]x[/inlmath]-osi, već su i međusobno simetrične u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, zbog čega je odmah inutitivno jasno da i centar tražene kružnice mora biti na [inlmath]x[/inlmath]-osi...
Dakle, to [inlmath]y_1=y_2[/inlmath] ne da nije nikakav ometajući faktor, već, naprotiv, baš olakšava ceo postupak.

Ali, sve i kad ne bismo tu pogodnost uzimali u obzir, već kad bismo išli strogo računski, preko uslova za sistem dodira, dalo bi se i tako rešiti:
[dispmath]r^2\cdot\left[\left(\frac{3}{4}\right)^2+1\right]=\left(-\frac{3}{4}p+q-2\right)^2\\
r^2\cdot\left[\left(-\frac{3}{4}\right)^2+1\right]=\left[-\left(-\frac{3}{4}\right)p+q-\left(-2\right)\right]^2[/dispmath]
[dispmath]\frac{25}{16}r^2=\left(-\frac{3}{4}p+q-2\right)^2\\
\frac{25}{16}r^2=\left(\frac{3}{4}p+q+2\right)^2[/dispmath]
[dispmath]\frac{25}{16}r^2=\left[q-\left(\frac{3}{4}p+2\right)\right]^2\\
\frac{25}{16}r^2=\left[q+\left(\frac{3}{4}p+2\right)\right]^2[/dispmath]
[dispmath]\frac{25}{16}r^2=q^2+\left(\frac{3}{4}p+2\right)^2-2q\left(\frac{3}{4}p+2\right)\\
\frac{25}{16}r^2=q^2+\left(\frac{3}{4}p+2\right)^2+2q\left(\frac{3}{4}p+2\right)[/dispmath]
[dispmath]\frac{25}{16}r^2-q^2-\left(\frac{3}{4}p+2\right)^2=-2q\left(\frac{3}{4}p+2\right)\\
\frac{25}{16}r^2-q^2-\left(\frac{3}{4}p+2\right)^2=2q\left(\frac{3}{4}p+2\right)[/dispmath]
Pošto su leve strane ovih jednačina jednake, moraju biti i desne:
[dispmath]-2q\left(\frac{3}{4}p+2\right)=2q\left(\frac{3}{4}p+2\right)[/dispmath][dispmath]4q\left(\frac{3}{4}p+2\right)=0[/dispmath][dispmath]q=0\quad\lor\quad\frac{3}{4}p+2=0[/dispmath]
Za [inlmath]\frac{3}{4}p+2=0[/inlmath] ne bi postojala realna rešenja za [inlmath]q[/inlmath] i za [inlmath]r[/inlmath]. Prema tome, preostaje jedino [inlmath]q=0[/inlmath] i kad se to uvrsti u sistem i reši preostali sistem od dve jednačine s dve nepoznate, dobiju se ona rešenja koja si i ti dobio.

Opet kažem, bolji je onaj način na koji si ti radio, da odmah uočiš da je [inlmath]q=0[/inlmath], hteo sam ovime samo da pokažem da čak i ako to ne uočiš, opet nije nemoguće rešiti zadatak, budući da si se upravo žalio na rešavanje tog sistema...

od sad cu uvijek kada zapnem negdje u zadatku nacrtati sve podatke i pokusati shvatiti nesta sa slike...

iz ove druge dobijem da je [inlmath]p=-\frac{8}{3}[/inlmath] (iz jednacine [inlmath]\frac{3}{4}p+2=0[/inlmath])

a imam jos jednu jednacinu [inlmath]p^2+q^2=r^2[/inlmath]

iz toga kada imam poznato [inlmath]p[/inlmath] izrazicu [inlmath]r^2[/inlmath] preko [inlmath]q^2[/inlmath]... i kada to uvrstim u neku od jednacina dodira dobijem [inlmath]q^2=\frac{100}{9}[/inlmath]

a samim tim i [inlmath]r^2=p^2+q^2[/inlmath]

mozes li mi objasniti kako da shvatim, bez crtanja slike, da su ova rjesenja netacna?

ali opet ta tacka [inlmath]x=-\frac{8}{3}[/inlmath]

to je ustvari i [inlmath]x[/inlmath] gdje se tangente sjeku [inlmath]M\left(-\frac{8}{3};0\right)[/inlmath]

pa opet graficki mozemo zakljuciti da je [inlmath]q=0[/inlmath]... ali me buni sto graficki zakljucujem da je [inlmath]q=0[/inlmath] i kad je [inlmath]p=-\frac{8}{3}[/inlmath] a racunski kad racunam [inlmath]q[/inlmath] dobijem [inlmath]q^2=\frac{100}{9}[/inlmath]

Kada dobiješ [inlmath]p=-\frac{8}{3}[/inlmath], uvrstiš to u [inlmath]p^2+q^2=r^2[/inlmath] i u jednu od preostale dve jednačine, recimo u jednačinu [inlmath]\frac{25}{16}r^2-q^2-\left(\frac{3}{4}p+2\right)^2=-2q\left(\frac{3}{4}p+2\right)[/inlmath] i dobićeš sistem od dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath]:
[dispmath]\left(-\frac{8}{3}\right)^2+q^2=r^2\\
\frac{25}{16}r^2-q^2-\underbrace{\left(-\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{3}+2\right)^2}_0=-2q\underbrace{\left(-\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{3}+2\right)}_0[/dispmath]
[dispmath]\frac{64}{9}+q^2=r^2\\
\frac{25}{16}r^2=q^2[/dispmath]
[dispmath]\frac{64}{9}+\frac{25}{16}r^2=r^2[/dispmath][dispmath]\frac{25}{16}r^2-r^2=-\frac{64}{9}[/dispmath][dispmath]\frac{9}{16}r^2=-\frac{64}{9}[/dispmath][dispmath]r^2=-\frac{1024}{81}[/dispmath]
Prema tome, za [inlmath]r[/inlmath] bi se dobio imaginaran broj.
[dispmath]\frac{25}{16}\cdot\left(-\frac{1024}{81}\right)=q^2[/dispmath][dispmath]q^2=-\frac{1600}{81}[/dispmath]
I za [inlmath]q[/inlmath] bi se takođe dobio imaginaran broj.

Sinisa je napisao:ali opet ta tacka [inlmath]x=-\frac{8}{3}[/inlmath]

to je ustvari i [inlmath]x[/inlmath] gdje se tangente sjeku [inlmath]M\left(-\frac{8}{3};0\right)[/inlmath]

pa opet graficki mozemo zakljuciti da je [inlmath]q=0[/inlmath]... ali me buni sto graficki zakljucujem da je [inlmath]q=0[/inlmath] i kad je [inlmath]p=-\frac{8}{3}[/inlmath] a racunski kad racunam [inlmath]q[/inlmath] dobijem [inlmath]q^2=\frac{100}{9}[/inlmath]

Prvo, računski se ne dobije [inlmath]q^2=\frac{100}{9}[/inlmath], već [inlmath]q^2=-\frac{1600}{81}[/inlmath], kako sam malopre i pokazao. Negde u računu imaš grešku.
Drugo, kada bi bilo [inlmath]p=-\frac{8}{3}[/inlmath] i [inlmath]q=0[/inlmath] (tj. kad bi se centar kružnice nalazio u preseku tangenti), kako bi odredio poluprečnik kružnice da ona dodiruje tangente i da prolazi kroz koordinatni početak? Nikako. Ako bi dodirivala tangente, tada bi joj poluprečnik bio nula pa ne bi mogla da prolazi kroz koordinatni početak, a ako bi prolazila kroz koordinatni početak, tada bi joj poluprečnik bio [inlmath]-\frac{8}{3}[/inlmath] ali tada ne bi dodirivala tangente već bi ih sekla... Znači, [inlmath]p=-\frac{8}{3}[/inlmath] bi bio nemoguć slučaj.

shvatio sam ja da je taj slucaj nemoguc kada sam nacrtao te tangente, vjerovatno sam imao neku gresku u racunu... ali sad kad sam vidio tvoje rjesenje sjetio sam se da sam ja juce rjesavao taj sistem 3 jednacine sa 3 nepoznate i isto sam dobio da je [inlmath]r=-\frac{1024}{64}[/inlmath] i da sam tu odustao, i tada sam stavio ovaj zadatak na forum i onda sam dobio ideju da nacrtam i na kraju sam rijesio zadatak...

nevjerovatno kako me ovi tvoji brojevi prisjetise na to jucerasnje rjesenje

Evo vidim niko nije ubacio skicu pa da ja ubacim.