MATEMANIJA

Odrediti jednacinu prave koja prolazi kroz tacku [inlmath]A(3;-1)[/inlmath] i na kruznici [inlmath]x^2+y^2=2[/inlmath] odsjeca tetivu duzine [inlmath]2[/inlmath]

ta prava mora zadovoljavati uslov: [inlmath]-1=3k+n[/inlmath]

isto tako znam i da postoji prava koja prolazi kroz centar kruznice i normalna je na poloviste te tetive... (sumnjam da ovo moze biti od koristi)

ustvari nasao sam normalnu udaljenost centra do te tetive... [inlmath]x=1[/inlmath]

a sada je ovo ujedno i tangenta ove iste kruznice samo sta je [inlmath]r=1[/inlmath]

sada cu pokusati ovo rijesiti na ovaj nacin pa cu napisati rjesenje

Mozes iz zakljucka da je odstojanje centra kruga [inlmath](0,0)[/inlmath] na udaljenosti [inlmath]1[/inlmath] od te prave dobiti da je [inlmath]n^2=1+k^2[/inlmath] (preko jednacina za udaljenost tacke od prave). Uz ovu jednacinu dodas prvu da je [inlmath]-1=3k+n[/inlmath] i samo se resi sistem

Pored prethodna dva vrlo elegantna načina, koje su izneli Sinisa i Stefanowsky, zadatak je moguće uraditi i bez računanja rastojanja prave od centra kružnice, mada taj način već zahteva nešto komplikovaniji postupak i zato ga ne preporučujem, ali, eto, nije zgoreg napomenuti da i taj treći način postoji. Odrede se izrazi za [inlmath]x[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka prave i kružnice u zavisnosti od koeficijenta prave [inlmath]k[/inlmath], a zatim se postavi uslov da je međusobno rastojanje te dve presečne tačke jednako [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]d^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2=2^2\quad\Rightarrow\quad\left(x_2-x_1\right)^2+\left[k\left(x_2-x_1\right)\right]^2=2^2[/dispmath]
i dobije se kvadratna jednačina po [inlmath]k[/inlmath]...

Vidim niko ne daje konačno rješenje pa ja ću.Jeste da samo treba sistem da se riješi ali zato i ide crtež. Dobiju se dvije jednačine prave [inlmath]y=-1[/inlmath] i [inlmath]y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}[/inlmath].Kao što vidite radio sam preko tangente koncentrične kružnice.Znači iz tog uslova dobijem [inlmath]n^2=k^2+1[/inlmath]

Stefanowsky je napisao:Mozes iz zakljucka da je odstojanje centra kruga [inlmath](0,0)[/inlmath] na udaljenosti [inlmath]1[/inlmath] od te prave dobiti da je [inlmath]n^2=1+k^2[/inlmath] (preko jednacina za udaljenost tacke od prave).

Možeš li samo dati postupak kako si dobio to ? Misliš li na ovu formulu [inlmath]d=\frac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/inlmath]? Jesi li podjelio razlomak sa [inlmath]B[/inlmath]? To meni pada prvo na pamet ali i nisam baš siguran onda bi trebalo posmatrati dva slučaja kada je [inlmath]B[/inlmath] pozitivno i negativno jer se ubacuje pod korijen i apsolutnu vrijednost.

preko te formule se dobije [inlmath]n^2=1+k^2[/inlmath], bez ikakvih apsolutnih vrijednosti...

Kako? Napiši postupak.Ja sam rekao šta mi predstavlja problem kada se dijeli razlomak sa [inlmath]B[/inlmath] ako se uopšte tako i radi.Ne znam ni jedan drugi način.

[inlmath]1=\frac{n^2}{1+k^2}[/inlmath] (ovo je nakon sto kvadriras, ne mogu sad traziti kako se pise korijen...)

[inlmath]A=1\\
B=-k\\
C=-n[/inlmath]

[inlmath]k=-\frac{A}{B}[/inlmath] i [inlmath]n=-\frac{C}{B}[/inlmath] jer [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] predstavljaju konstante u implicitnom obliku jednačine prave a kada se to malo sredi dobije se [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath].Kako si došao do toga da je [inlmath]A=1,\;B=-k,\;C=-n[/inlmath]?

[inlmath]y-kx-n=0[/inlmath]

meni nije jasno kako si ti dosao do tog oblika...

Ako si tako radio treba da bude [inlmath]A=-k[/inlmath] i [inlmath]B=1[/inlmath].Ostaje apsolutna vrijednost.Ali to se poništava zbog kvadriranja.Kvadriranje je dozvoljeno jer udaljenost mora biti pozitivan broj.

svejedno je sta je [inlmath]A[/inlmath] a sta [inlmath]B[/inlmath] (u ovom primjeru)

U ovome jeste dobije se isto rješenje. Ali uvijek [inlmath]A[/inlmath] ide ispred [inlmath]x[/inlmath] a [inlmath]B[/inlmath] ispred [inlmath]y[/inlmath]-a. Jer si implicitnu jednačinu predstavio preko eksplicitne.

Gamma je napisao:

Stefanowsky je napisao:Mozes iz zakljucka da je odstojanje centra kruga [inlmath](0,0)[/inlmath] na udaljenosti [inlmath]1[/inlmath] od te prave dobiti da je [inlmath]n^2=1+k^2[/inlmath] (preko jednacina za udaljenost tacke od prave).

Možeš li samo dati postupak kako si dobio to ? Misliš li na ovu formulu [inlmath]d=\frac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/inlmath]? Jesi li podjelio razlomak sa [inlmath]B[/inlmath]?

Ako zelis preko implicitnog oblika:
[inlmath]x_0=0,\;y_0=0,\;d=1[/inlmath] odakle sledi: [inlmath]\sqrt{A^2+B^2}=\left|C\right|[/inlmath] i [inlmath]A^2+B^2=C^2[/inlmath]. Jednacinu mozemo da podelimo sa [inlmath]B^2[/inlmath] da bi dobili: [inlmath]\frac{A^2}{B^2}+1=\frac{C^2}{B^2}[/inlmath] i [inlmath]\left(-\frac{A}{B}\right)^2+1=\left(-\frac{C}{B}\right)^2[/inlmath]. Ili radis preko eksplicitnog oblika jer je ocigledno da trazena prava nije paralelna sa [inlmath]y[/inlmath]-osom.

Jasno mi je ipak vidim da se može i preko dijeljenja sa [inlmath]B[/inlmath] kao što sam predpostavio.

Kada smo već i kod toga trećeg rješenja. Meni se činilo nekako jednostavnim ali kada sam pogledao i nije baš.Ovo mi nije jasno

Daniel je napisao:Odrede se izrazi za [inlmath]x[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka prave i kružnice u zavisnosti od koeficijenta prave [inlmath]k[/inlmath], a zatim se postavi uslov da je međusobno rastojanje te dve presečne tačke jednako [inlmath]2[/inlmath]

Koliko sam ja skontao želiš da izraziš apscise preko koeficjenta.Misliš li na nešto ovako?

Jeste, upravo tako. Tamo sam prvo pokazao ovaj lakši način na koji je i Siniša sada radio, a potom sam pokazao i taj komplikovaniji način preko međusobnog rastojanja presečnih tačaka.

Gotovo identičan zadatak kao ovaj, s jedinom razlikom što je tamo sve bilo „uveličano“ [inlmath]5\!\times[/inlmath] u odnosu na ovaj zadatak.

Ali ipak komplikovaniji je dosta ovaj postupak.Čisto sumnjam da će ga neko koristiti. Dosta je lakše i pogriješiti u njemu.