MATEMANIJA

Pozdrav. Stvarno ne znam kako da rješim ovaj zadatak, pa ako mi neko može pomoći???

Nađi jednadžbu pravca koji pod pravim kutom sječe pravce:
[dispmath]p:\;\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{0}=\frac{z-2}{1}[/dispmath][dispmath]q:\;\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+5}{0}[/dispmath]

Otpozdrav. Predlažem da zajedno uradimo zadatak. Meni je najpre potrebno tvoje mišljenje. Da li su ove dve zadate prave mimoilazne, da li se seku, da li su paralelne ili se poklapaju? Na jednom zadatku iz oblasti prostorne analitičke geometrije se mnogo može naučiti, posebno ako je zadatak reprezentativan poput tvog.

Iako se postavljač teme ne javlja, izložio bih neku svoju osnovnu ideju za rešavanje: prvo nađemo vektor traženog pravca, zatim postavimo ravan koja sadrži pravac [inlmath]p[/inlmath] i traženi pravac, a zatim nađemo tačku preseka te ravni i pravca [inlmath]q[/inlmath]. Ta tačka preseka pripadaće traženom pravcu. Pošto imamo vektor traženog pravca i tačku koja pripada tom pravcu, imamo sve što je potrebno da bismo taj pravac i odredili.

Da predložim i još jedan način, pored ovog koji je već opisao @Daniel. Mogu se najpre oba pravca prikazati u parametarskom obliku:
[dispmath]p:\;\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{0}=\frac{z-2}{1}=t[/dispmath][dispmath]q:\;\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+5}{0}=s[/dispmath]
Zatim se postavi vektor između dve date tačke ovih pravaca, takođe preko parametara [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath]. Potom iz dva uslova normalnosti tog vektora na vektore pravaca (skalarni proizvod jednak nuli) dobijemo dve jednačine sa dve nepoznate, upravo [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath]. A onda imamo traženi pravac. I ne samo to, onda se lako nalazi i rastojanje dva mimoilazna (zašto?) pravca [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath].

Postavljač teme se i dalje ne javlja, ali šteta je ovako lep zadatak ostaviti bez odgovora. Evo, najpre ćemo preći na parametarski oblik. Postavljenim zadatkom date su prave u kanonskom ili kanoničkom obliku. Na parametarski oblik se, kao što je već napomenuto, prelazi sa:
[dispmath]p:\;\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{0}=\frac{z-2}{1}=t\\
q:\;\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+5}{0}=s\\
p:\,x=2t+3;\;y=-1;\;z=t+2\qquad\qquad q:\,x=s+1;\;y=s+2;\;z=-5[/dispmath]
Izjednanačavanjem koordinata [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] za ove dve prave dobija se sistem od tri jednačine sa dve nepoznate (a to su parametri [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath]):
[dispmath]2t+3=s+1\\
-1=s+2\\
t+2=-5[/dispmath]
Važiće:

• Ako sistem ima jedinstveno rešenje prave se seku. Koordinate presečne tačke lako se određuju kada se dobijene vrednosti za [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] uvrste u bilo koju pravu izraženu u parametarskom obliku.
• Ako je sistem nesaglasan (nemoguć, nema rešenje) prave su ili mimoilazne (ne pripadaju istoj ravni) ili su paralelne. Mimoilazne su ako im vektori nisu kolinearni, a paralelne ako su im vektori kolinearni.
• Ako sistem ima beskonačno mnogo rešenja, prave se poklapaju. Ovo bi se zaključilo ako bi se sve tri jednačine sistema svele na jednu.

Razmotrimo još i ispitivanje kolinearnosti. Vektor prave zadate u kanonskom obliku [inlmath]\vec p=\left<p_x,p_y,p_z\right>[/inlmath] se lako uočava:
[dispmath]p:\;\frac{x-x_0}{p_x}=\frac{y-y_0}{p_y}=\frac{z-z_0}{p_z}[/dispmath]
Dva vektora [inlmath]\vec p=\left<p_x,p_y,p_z\right>[/inlmath] i [inlmath]\vec q=\left<q_x,q_y,q_z\right>[/inlmath] su kolinearna ako su ispunjeni uslovi: [inlmath]p_x=kq_x;\quad p_y=kq_y;\quad p_z=kq_z[/inlmath]
Ovde je [inlmath]k[/inlmath] proizvoljna konstanta. Na primer, vektori [inlmath]\vec a=\left<3,-2,4\right>[/inlmath] i [inlmath]\vec b=\left<15,-10,20\right>[/inlmath] su kolinearni.
U zadatku je očigledno da je sistem:
[dispmath]2t+3=s+1\\
-1=s+2\\
t+2=-5[/dispmath]
nesaglasan, jer se iz druge i treće jednačine lako dobijaju [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath] koji ne zadovoljavaju prvu jednačinu. Ako se još pogleda kanonski oblik:
[dispmath]p:\;\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{0}=\frac{z-2}{1}\\
q:\;\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+5}{0}[/dispmath]
zaključujemo da vektori ovih pravih nisu kolinearni, što uz već konstatovanu nesaglasnost prethodnog sistema jednačina dovodi do zaključka da su prave mimoilazne.


Navodim (bez dokaza) jednu izuzetno važnu teoremu za mimoilazne prave:
Dve mimoilazne prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] imaju jedinstvenu zajedničku normalu (pravu [inlmath]n[/inlmath]) koja seče prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] i na njih je upravna.
Uslov normalnosti (upravnosti) dve prave je da je skalarni proizvod njihovih vektora jednak nuli.

Sve ovo dosad je u suštini bila teorijska priprema za ovaj zadatak. Jeste da traje, ali se pri tome dosta toga može naučiti.
Postavimo sada vektor ove zajedničke normale u parametarskom obliku. To znači da smo time zapravo opisali mnogo vektora između ove dve zadate prave, ali će samo onaj koji zadovolji oba uslova normalnosti biti „pravi“ vektor normale:
[dispmath](1)\;\vec n\cdot\vec p=0\qquad(2)\;\vec n\cdot\vec q=0\\
(1)\;n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z=0\qquad(2)\;n_xq_x+n_yq_y+n_zq_z=0[/dispmath]
Vektor [inlmath]\vec n=\left<n_x,n_y,n_z\right>[/inlmath] u parametarskom obliku dobijamo iz:
[dispmath]\vec n=\left<x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1\right>[/dispmath]
gde su prema već prikazanim parametarskim oblicima pravih:
[dispmath]p:\,x_1=2t+3;\;y_1=-1;\;z_1=t+2\qquad\qquad q:\,x_2=s+1;\;y_2=s+2;\;z_2=-5[/dispmath]
Sada je vektor normale u parametarskom obliku:
[dispmath]\vec n=\left<s+1-2t-3,\;s+2+1,\;-5-t-2\right>[/dispmath][dispmath]\vec n=\left<s-2t-2,\;s+3,\;-t-7\right>[/dispmath]
Iz zadatog kanonskog oblika pravih:
[dispmath]p:\;\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{0}=\frac{z-2}{1}\\
q:\;\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+5}{0}[/dispmath]
vidi se da su vektori ove dve prave:
[dispmath]\vec p=\left<2,0,1\right>\qquad\quad\vec q=\left<1,1,0\right>[/dispmath]
Sada ovo zamenjujemo u dva navedena uslova normalnosti:
[dispmath](1)\;\vec n\cdot\vec p=0\qquad(2)\;\vec n\cdot\vec q=0\\
(1)\;n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z=0\qquad(2)\;n_xq_x+n_yq_y+n_zq_z=0\\
(1)\;(s-2t-2)\cdot2+(s+3)\cdot0+(-t-7)\cdot1=0\qquad(2)\;(s-2t-2)\cdot1+(s+3)\cdot1+(-t-7)\cdot0=0[/dispmath]
Dobija se sistem od dve jednačine sa dve nepoznate:
[dispmath](1)\;2s-5t=11\\
(2)\;2s-2t=-1[/dispmath]
čije je rešenje:
[dispmath]t=-4\qquad s=-\frac{9}{2}[/dispmath]
Pošto je vektor normale dat sa: [inlmath]\vec n=\left<s-2t-2,\;s+3,\;-t-7\right>[/inlmath] dobijamo konačno:
[dispmath]\vec n=\left<\frac{3}{2},-\frac{3}{2},-3\right>[/dispmath]
rezultat se može i proveriti: [inlmath]\quad\vec n\cdot\vec p=\frac{3}{2}\cdot2-\frac{3}{2}\cdot0-3\cdot1=0\qquad\quad\vec n\cdot\vec q=\frac{3}{2}\cdot1-\frac{3}{2}\cdot1-3\cdot0=0[/inlmath]
Sada se lako nalaze i tačke u kojima normala seče prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], ponovo iz parametarskog oblika. Obeležimo te tačke sa [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath]:
[dispmath]M:\,x_M=2t+3=-5;\quad y_M=-1;\quad z_M=t+2=-2\qquad\quad N:\,x_N=s+1=-\frac{7}{2};\quad y_N=s+2=-\frac{5}{2};\quad z_N=-5[/dispmath]
Tražena jednačina normale se, prema tome, može izraziti u dva oblika:
[dispmath]n_1:\;\frac{x+5}{\frac{3}{2}}=\frac{y+1}{-\frac{3}{2}}=\frac{z+2}{-3}\\
n_2:\;\frac{x+\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{y+\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}}=\frac{z+5}{-3}[/dispmath]
Ako je rezultat tačan, ove dve prave bi trebalo da se poklapaju. Ne postoje dve jednačine normale, to se vidi i iz date teoreme o mimoilaznim pravama. Proverićemo i to, parametrizujući ova dva oblika jednačine normale:
[dispmath]n_1:\;\frac{x+5}{\frac{3}{2}}=\frac{y+1}{-\frac{3}{2}}=\frac{z+2}{-3}=t_1\\
n_2:\;\frac{x+\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{y+\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}}=\frac{z+5}{-3}=s_1[/dispmath]
Ponovo, kao što je pokazano, dobijamo sistem od tri jednačine sa dve nepoznate:
[dispmath]\frac{3}{2}t_1-5=\frac{3}{2}s_1-\frac{7}{2}\\
-\frac{3}{2}t_1-1=-\frac{3}{2}s_1-\frac{5}{2}\\
-3t_1-2=-3s_1-5[/dispmath]
Množenjem prve jednačine sa [inlmath]\frac{2}{3}[/inlmath], druge sa [inlmath]-\frac{2}{3}[/inlmath] i treće sa [inlmath]-\frac{1}{3}[/inlmath] uz sređivanje dobija se:
[dispmath]t_1-s_1=1\\
t_1-s_1=1\\
t_1-s_1=1[/dispmath]
Ovo znači da sistem ima beskonačno mnogo rešenja, što znači da se [inlmath]n_1[/inlmath] i [inlmath]n_2[/inlmath] poklapaju, to jest dobili smo samo jednu traženu normalu, kao što i mora biti.

U pravu ste, nije u redu šta se nisam javljao. Nisam znao rješiti zadatak.
Sada kada ste detaljno napisali postupak, sve ću proučiti i rješiti još takvih zadataka.
Desideri i Daniel hvala vam.
Mnogo ste mi pomogli.

Pa, upravo zbog toga što nisi znao kako da rešiš zadatak, trebalo je da se javiš i da zamoliš za dodatna pojašnjenja.

Sve pohvale za @desiderijevo sjajno, detaljno i vrlo razumljivo objašnjenje. Napomenuo bih samo to, da kad dobijemo vektor normale u ovom obliku,

desideri je napisao:[dispmath]\vec n=\left<\frac{3}{2},-\frac{3}{2},-3\right>[/dispmath]

poželjno je, čisto radi praktičnosti i pojednostavljenja računa, komponente vektora svesti na što manje cele brojeve. Množenjem svih komponenata vektora jednom istom konstantom, dobijamo neki vektor drugačijeg intenziteta, ali istog pravca (tj. kolinearni vektor), a pošto kod vektora neke prave upravo i posmatramo samo pravac dok nam intenzitet nije od značaja, taj novodobijeni vektor takođe će biti vektor te prave koju posmatramo. Dakle, kako bismo se oslobodili razlomaka, sve tri komponente pomnožimo NZS-om njihovih imenilaca, a to je u ovom slučaju [inlmath]2[/inlmath], i dobijamo
[dispmath]\vec n=\left<3,-3,-6\right>[/dispmath]
Radi svođenja na najmanje moguće cele brojeve, sada sve komponente delimo njihovim NZD-om, a to je u ovom slučaju [inlmath]3[/inlmath]:
[dispmath]\vec n=\left<1,-1,-2\right>[/dispmath]
i to je to. Možemo i proveriti da li uslov normalnosti na prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] i dalje važi,
[dispmath]\vec n\cdot\vec p=1\cdot2-1\cdot0-2\cdot1=0\qquad\vec n\cdot\vec q=1\cdot1-1\cdot1-2\cdot0=0[/dispmath]
Znači,

Samim tim, i jednačinu traženog pravca, umesto u nekom od već pokazana dva oblika,
[dispmath]n_1:\;\frac{x+5}{\frac{3}{2}}=\frac{y+1}{-\frac{3}{2}}=\frac{z+2}{-3}\\
n_2:\;\frac{x+\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{y+\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}}=\frac{z+5}{-3}[/dispmath]
možemo napisati u nekom od sledeća dva oblika, s celobrojnim komponentama vektora:
[dispmath]n_1:\;\frac{x+5}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+2}{-2}\\
n_2:\;\frac{x+\frac{7}{2}}{1}=\frac{y+\frac{5}{2}}{-1}=\frac{z+5}{-2}[/dispmath]