MATEMANIJA

Zdravo, evo jednog zadatka kog ne mogu da resim.
Odredi GMT koje su podjednako udaljene od kruznica: [inlmath](x+2)^2+y^2=64[/inlmath] i [inlmath](x-2)^2+y^2=4[/inlmath].
Ja sam probala tako sto sam prvo odredila centre datih kruznica, a onda uzela jednu tacku [inlmath]M[/inlmath] sa koordinatama [inlmath](X,Y)[/inlmath] i predpostavila da je rastojanje od centra jedne kruznice pa do tacke [inlmath]M[/inlmath] jednako rastojanju od centra druge kruznice pa do tacke [inlmath]M[/inlmath] ali ne dobijem tacan rezultat.
Resenje je [inlmath]8-\sqrt{(x+2)^2+y^2}=\sqrt{(x-2)^2+y^2}-2[/inlmath] ili [inlmath]21x^2+25y^2=525[/inlmath].

zato sto ta tacka nije podjednako udaljena od centara kruznica vec od samih kruznica, udaljenost od centra prve kruznice je [inlmath]8+x[/inlmath] a od centra druge je [inlmath]2+x[/inlmath] posto su [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] poluprecnici tih kruznica a [inlmath]x[/inlmath] je udaljenost kruznica od te tacke...

Ja bih to ovako, i bez slike:
Odmah vidimo da su centri kružnica na [inlmath]x[/inlmath] osi, konkretno u tačkama [inlmath](-2,0)[/inlmath] i [inlmath](2,0)[/inlmath].
Vidi se iz samih jednačina i da su im poluprečnici [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], respektivno. Eto, ako želiš, nacrtaj, ili mi da crtamo, nije teško.
Jedna je unutar druge, decentrirane su i simetrične u odnosu na [inlmath]x[/inlmath] osu. Ja odatle znam da je elipsa traženo geometrijsko mesto tačaka podjednako udaljeno od obe kružnice. (A da su centrirane, bile bi koncentrične, pa bi onda neka "unutrašnja" kružnica bila podjednako udaljena od obe).
I dalje, ja odatle vidim da ta elipsa ima poluose [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{21}[/inlmath].
Dobro, to baš nije tako lako vidljivo, ali evo: menjaj [inlmath]x=0[/inlmath] u veću kružnicu i nađi aritmetičku sredinu između [inlmath]x[/inlmath] koordinata kada staviš [inlmath]y=0[/inlmath] u obe kružnice, isto je po apsolutnoj vrednosti.
Možda sam preterao sa ovim "intuitivnim" prilazom, ali eto ja dobih elipsu kao GMT:
[dispmath]\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1[/dispmath]

Hvala puno

nisam bio nacrtao sliku pa sam dao i pogresno rjesenje (nisam imao u vidu da se nalazi jedna kruznica u drugoj)

e ovako:
[inlmath]\sqrt{(x+2)^2+y^2}=d_1[/inlmath] - udaljenost od centra vece kruznice do tacke [inlmath]M(x;y)[/inlmath]
[inlmath]\sqrt{(x-2)^2+y^2}=d_2[/inlmath] - udaljenost od centra manje kruznice do tacke [inlmath]M[/inlmath]

posto znamo poluprecnike i znamo da je ta tacka [inlmath]M[/inlmath] jednako udaljena od obije kruzniice mozemo izraziti koliko je ta tacka udaljena od samih kruznica (to je lako uvidjeti kada nacrtamo skicu)

[inlmath]M[/inlmath] je udaljena od vece kruznice za [inlmath]8-\sqrt{(x+2)^2+y^2}[/inlmath] (tacka [inlmath]M[/inlmath] se nalazi unutar vece kruznice a od centra kruznice je udaljena za neko [inlmath]d_1[/inlmath] znaci da je udaljenost te tacke od kruznice jednaka [inlmath]r-d_1[/inlmath]) a od manje kruznice za [inlmath]\sqrt{(x-2)^2+y^2}-2[/inlmath] (tacka [inlmath]M[/inlmath] se nalazi izvan ove kruznice, samim tim ta tacka je udaljena od kruznice za [inlmath]d_2-r[/inlmath])

sada se ovo izjednaci i dobije se trazeno rjesenje

Sinisa je napisao:zato sto ta tacka nije podjednako udaljena od centara kruznica vec od samih kruznica, udaljenost od centra prve kruznice je [inlmath]8+x[/inlmath] a od centra druge je [inlmath]2+x[/inlmath] posto su [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] poluprecnici tih kruznica a [inlmath]x[/inlmath] je udaljenost kruznica od te tacke...

Upravo je tebe danas zbunilo kad je čovek upotrebio oznaku [inlmath]x[/inlmath] već korišćenu za neku drugu vrednost, a evo, ti sad uradio to isto. Mogao si, pored toliko slova abecede, baš da izabereš i neko drugo slovo, npr. [inlmath]d[/inlmath] (uobičajeno za oznaku udaljenosti).
Dobro, za ovo [inlmath]8+d[/inlmath] i [inlmath]2+d[/inlmath] si se već ispravio...

desideri je napisao:Dobro, to baš nije tako lako vidljivo, ali evo: menjaj [inlmath]x=0[/inlmath] u veću kružnicu i nađi aritmetičku sredinu između [inlmath]x[/inlmath] koordinata kada staviš [inlmath]y=0[/inlmath] u obe kružnice, isto je po apsolutnoj vrednosti.

Zainteresovao me ovaj tvoj intuitivni postupak. OK, da je GMT elipsa, to nije teško intuitivno zaključiti. Njene preseke s [inlmath]x[/inlmath]-osom isto možemo lako intuitivno odrediti:
Leva tačka preseka veće kružnice s [inlmath]x[/inlmath]-osom je [inlmath]\left(-10,0\right)[/inlmath], a manje [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath], pa je leva tačka preseka tražene elipse s [inlmath]x[/inlmath]-osom [inlmath]\left(-5,0\right)[/inlmath].
Desna tačka preseka veće kružnice s [inlmath]x[/inlmath]-osom je [inlmath]\left(6,0\right)[/inlmath], a manje [inlmath]\left(4,0\right)[/inlmath], pa je desna tačka preseka tražene elipse s [inlmath]x[/inlmath]-osom [inlmath]\left(5,0\right)[/inlmath].
Uostalom, to je i u skladu s uputstvom koje si dao.
Iz ovoga zaključujemo da [inlmath]x[/inlmath]-poluosa elipse ima dužinu [inlmath]5[/inlmath] i da se centar elipse nalazi na [inlmath]y[/inlmath]-osi, a zbog simetrije obe kružnice u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, jasno je da i elipsa mora biti simetrična u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, tj. da joj je centar na [inlmath]x[/inlmath]-osi – sledi da se centar elipse nalazi u koordinatnom početku.
I to je ono što mi je jasno.
Ono što mi nije jasno, to je nalaženje [inlmath]y[/inlmath]-poluose elipse intuitivnim putem. Nisam baš razumeo ovo uvrštavanje [inlmath]x=0[/inlmath] u jednačinu veće kružnice, šta time postižemo?

Daniel je napisao:Ono što mi nije jasno, to je nalaženje [inlmath]y[/inlmath]-poluose elipse intuitivnim putem.

E, tu sam preterao sa "intuicijom". Zapravo, pretpostavljao sam da postoji tačka na elipsi koja je podjednako udaljena od obe kružnice, a na istoj je vertikali, to jest za isto [inlmath]x[/inlmath]. A to nije [inlmath]x=0[/inlmath] i, koliko vidim, sada kada sam nacrtao, takva tačka ne postoji ni za jednu vertikalu [inlmath]x[/inlmath].

mozda je malo i samo rjesenje zadatka pripomoglo u pronalazenju druge poluose

A, pa imati rezultat unapred je potreban uslov svake tačne intiutivne pretpostavke...

gamma je danas pretpostavio bez da je znao rjesenje i njegova pretpostavka je bila tacna, ali nece da nam kaze kako je dosao do tog rezultata...

Gamma je napisao:Čak sam jednom dobio [inlmath]87[/inlmath] ali naravno nisam bio siguran zato sam i pitao.

-ovo se zove intuicija!!!