MATEMANIJA

Jednacina tangente parabole p: [inlmath]y=x^2+2x+2[/inlmath] koja je paralelna pravoj [inlmath]p:\;y=2x[/inlmath] glasi?

Ako moze pomoc kako da ovu parabolu svedem na onaj oblik [inlmath]x^2=2py[/inlmath]
Kasnije cu da upotrebim uslov dodira i to sto je ova tangenta paralelna sa datom pravom.

nema potrebe za tim, rijesi sistem:
[dispmath]y=2x+n\\
y=x^2+2x+2[/dispmath]
izracunaj za koje [inlmath]n[/inlmath] ce taj sistem imati jedno rjesenje, tj [inlmath]D=0[/inlmath]

kasnije to [inlmath]n[/inlmath] uvrsti u prvu jednacinu i dobices jednacinu te tangente

Uspela sam da resim,hvala

kristinaaa je napisao:Ako moze pomoc kako da ovu parabolu svedem na onaj oblik [inlmath]x^2=2py[/inlmath]

Iako ti to, kao što i Siniša reče, nije potrebno za ovaj zadatak, evo kako se svodi na taj oblik, ako ti nekad bude zatrebalo:
[dispmath]y=x^2+2x+2=x^2+2x+1+1=\left(x+1\right)^2+1\\
\Rightarrow\quad y-1=\left(x+1\right)^2\\
\Rightarrow\quad\enclose{box}{y-1=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(x+1\right)^2}[/dispmath]
Znači, [inlmath]p=\frac{1}{2}[/inlmath], a zbog toga što umesto [inlmath]y[/inlmath] figuriše [inlmath]y-1[/inlmath] i što umesto [inlmath]x[/inlmath] figuriše [inlmath]x+1[/inlmath], grafik parabole će u odnosu na osnovni oblik [inlmath]y^2=2px[/inlmath] biti pomeren za [inlmath]1[/inlmath] prema gore i za [inlmath]1[/inlmath] prema levo.

Evo gledajući ovo pao mi je na pamet još jedan način rješavanja preko izvoda. Uradiš prvi izvod funkcije izjednačiš ga sa [inlmath]2[/inlmath] nađeš apscisu pa preko nje ordinatu. I kada znaš kordinate tačke lako je odrediti [inlmath]n[/inlmath].

Hvala puno Daniele,koristice mi ovo

Ako mogu da se nadovezem, da ne otvaram novu temu, problem je vrlo slican. Da ne prekucavam ceo zadatak, iznecu jedan deo koji se u njemu trazi.
Naime data je parabola [inlmath]y=2-x^2[/inlmath] koja je presecena pravom [inlmath]y=1[/inlmath]. U preseku prave i parabole dobijaju se tacke [inlmath]M_1[/inlmath] i [inlmath]M_2[/inlmath]. E sad, potrebno je odrediti tangente parabole koje prolaze kroz tacke [inlmath]M_1[/inlmath] i [inlmath]M_2[/inlmath]. Lako se dolazi do koordinata tacaka, ali ne znam na koji nacin mogu da odredim tangentu kada nemam ni koeficijent pravca niti odsecak [inlmath]n[/inlmath].

Mozda taj koeficijent pravca ima neke veze sa prvim izvodom.
Izvod funkcije u datoj tacki je koeficijent pravca tangente na krivu funkcije u toj tacki

#bobanex
mislim da si u pravu, radio sam slicnan zadatak i primetio da moze biti izvod.

Imam slican problem, kako da ovu jednacinu parabole svedem na kanonski oblik?
[dispmath]y=x^2-x[/dispmath]

Ne znam gde je nastao problem, da li znaš po kojoj formuli se vrši svođenje na kanonski oblik?
[dispmath]x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}[/dispmath] Ako nećeš da je pamtiš onda uradi ovako.

Ako imaš opšti slučaj, da ti je jednačina parabole zadata sa [inlmath]y=ax^2+bx+c[/inlmath], a treba da je prebaciš u kanonski oblik [inlmath]y=a(x-x_0)^2+y_0[/inlmath], samo izjednačiš desne strane ovih jednačina i odatle dobiješ koliko iznose [inlmath]x_0[/inlmath] i [inlmath]y_0[/inlmath] (pomeraji po [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-osi u odnosu na osnovni položaj) u zavisnosti od [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].
Dakle,
[dispmath]ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2+y_0[/dispmath] I, kad to rešiš, videćeš da ćeš dobiti poznate formule za koordinate temena parabole...

'Oćeš da pokušaš?

Evo 'oću
[dispmath]ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2+y_0[/dispmath][dispmath]a\Big(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\Big)=a(x-x_0)^2+y_0[/dispmath][dispmath]a\left[\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right]=a(x-x_0)^2+y_0[/dispmath][dispmath]a\left[\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=a(x-x_0)^2+y_0[/dispmath][dispmath]a\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=a(x-x_0)^2+y_0[/dispmath] Pa je [inlmath]x_0[/inlmath] ili [inlmath]\alpha[/inlmath] (mi smo tako obeležavali koordinate temena kvadratne jednačine, tojest parabole [inlmath]x[/inlmath] koordinatu sa [inlmath]\alpha[/inlmath], a [inlmath]y[/inlmath] koordinatu sa [inlmath]\beta[/inlmath]) jednako [inlmath]-\frac{b}{2a}[/inlmath]
i [inlmath]y_0[/inlmath] ili [inlmath]\beta[/inlmath] jednako je [inlmath]-\frac{b^2-4ac}{4a}[/inlmath]

Hvala na odgovorima...

To je OK, a može se uraditi i tako što bismo razvili ovaj kvadrat binoma na desnoj strani:
[dispmath]ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2+y_0\\
\cancel{ax^2}+bx+c=\cancel{ax^2}-2ax_0x+ax_0^2+y_0[/dispmath] Pa onda, izjednačavanjem članova sa [inlmath]x[/inlmath] i slobodnih članova, dobijamo:
[dispmath]bx=-2ax_0x\quad\Longrightarrow\quad x_0=-\frac{b}{2a}\\
c=ax_0^2+y_0\quad\Longrightarrow\quad y_0=c-ax_0^2=c-a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2=\cdots=\frac{4ac-b^2}{4a}[/dispmath]

---

Ako bismo to primenili na tvoju parabolu,
[dispmath]x^2-x=a(x-x_0)^2+y_0=ax^2-2ax_0x+ax_0^2+y_0[/dispmath] odatle se lako dobije, grupisanjem odgovarajučih članova, da je [inlmath]a=1[/inlmath], [inlmath]x_0=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]y_0=-\frac{1}{4}[/inlmath].