MATEMANIJA

Molim vas za pomoć oko jednog zadatka. Radi se o 30. zadatku sa više razine (A) iz 2010-2011. g., Zimski rok.
Evo zadatka:

30. Tijelo kreće iz točke [inlmath]A\left(4,-5\right)[/inlmath] i giba se po kružnici sa središtem u [inlmath]S\left(3,2\right)[/inlmath] u pozitivnome smjeru do točke [inlmath]B\left(x,y\right)[/inlmath]. Duljina kružnoga luka [inlmath]\overset{\frown}{AB}[/inlmath] je [inlmath]\left|\overset{\frown}{AB}\right|=\frac{5\sqrt2\cdot\pi}{2}[/inlmath].
Odredite koordinate točke [inlmath]B[/inlmath].

Moje rješenje - grafičko (točno je):

[inlmath]A\left(4,-5\right)\\
S\left(3,2\right)\\
B\left(x,y\right)\\
\underline{\left|\overset{\frown}{AB}\right|=\frac{5\sqrt2\cdot\pi}{2}}\\
x,y=?[/inlmath]


[dispmath]r=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}=\sqrt{\left(3-4\right)^2+\big(2-\left(-5\right)\big)^2}=\sqrt{50}[/dispmath][dispmath]\overset{\frown}{AB}=\frac{r\pi\alpha}{180^\circ}\quad\left/\cdot\frac{180^\circ}{r\pi}\right.\\
\overset{\frown}{AB}\cdot\frac{180^\circ}{r\pi}=\alpha\\
\frac{5\sqrt2\cdot\cancel\pi}{2}\cdot\frac{180^\circ}{\sqrt{50}\cancel\pi}=\alpha\\
\alpha=90^\circ[/dispmath]
Moje pitanje je sada, da li postoji kakvo matematičko rješenje za dobiti te koordinate točke [inlmath]B[/inlmath]? Ovdje ih se jednostavno moglo dobiti ako se konstruirala kružnica i slično, ali kako bi se ovaj zadatak rješio da je kut alfa bio neki drugi npr. [inlmath]73^\circ[/inlmath]?
Interesira me da li se može dobiti koordinate sjecišta pravca sa kružnicom matematičkim putem?

@Kudrow,
pre svega pozdrav i dobro došao(la) na forum.
Molim te da najpre pročitaš naš Pravilnik.
A molim te da posle Pravilnika pogledaš Latex.

ti si radio na nacin da nadjes poluprecnik kruga a kasnije i njegov obim kako bi nasao taj ugao, kada bi u pitanju bio neki drugi ugao mogao bi koristiti sinusnu ili kosinusnu teoremu jer bi imao jednakokraki trougao gdje su kraci poluprecnik a osnovica je duz [inlmath]AB[/inlmath]... a drugi nacin bi bio da koristis integrale, stavio bi tu kruznicu u centar koordinatnog sistema ([inlmath]y[/inlmath] bi zamjenio sa [inlmath]y'[/inlmath] gdje bi bilo [inlmath]y'=y-3[/inlmath] , slicno bi uradio i za [inlmath]x[/inlmath]), izrazio bi jednu [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]y[/inlmath] ili obrnuto i onda bi koristio formulu za duzinu krive... to je malo komplikovaniji nacin

Mozes naci jednacinu prave kroz tacke [inlmath]S[/inlmath] i [inlmath]A[/inlmath] tacnije njen koeficijent pravca.
Potom koristeci formulu za ugao izmedju dve prave mozes naci koeficijent pravca prave kroz tacke [inlmath]S[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] samim tim imas i jednacinu te prave.
Ostaje ti da nadjes presek kruznice i te druge prave.
Dobices dva preseka ali ukapiraces vec koji je pravi.

U ovom zadatku bi bilo otprilike ovako:
[dispmath]k_1=-7\\
k_2=\frac{1}{7}\\
y=\frac{x+11}{7}\\
\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=50\\
\left(x-3\right)^2=49\\
x-3=\pm7\\
\vdots[/dispmath]

Zadatke ovoga tipa nikada nemoj raditi grafički. Jeste da u nekim slučajevima i može se očitati rješenje. Ali ipak bolje ih je raditi analitički. Mada tako se oni uvijek i rade.