MATEMANIJA

Odrediti jednacine tangenata kruznice [inlmath]x^2+y^2-2x-24=0[/inlmath] koje seku pravu [inlmath]7x-y=0[/inlmath] pod uglom od [inlmath]45[/inlmath] stepeni.
Nasla sam jednacinu kruznice [inlmath]\left(x-1\right)^2+y^2=25[/inlmath]. Dakle, [inlmath]p=1,\;q=0,\;r=5[/inlmath]. Kod date prave mogu da odredim koeficijent pravca i on je jednak sa sedam. Sad trazim koeficijent pravca za tangente, na osnovu datog ugla.
[dispmath]\mathrm{tg}\:45^\circ=\left|\frac{k-k_p}{1+k\cdot k_p}\right|[/dispmath]
Odavde mi slede dva slucaja zbog apsolutne vrednosti. U prvom slucaju imam da je
[dispmath]\frac{k-k_p}{1+k\cdot k_p}=1[/dispmath]
U drugom slucaju imam da je
[dispmath]\frac{k-k_p}{1+k\cdot k_p}=-1[/dispmath]
Kada zamenim u prvom slucaju broj [inlmath]7[/inlmath] za [inlmath]k_p[/inlmath] dobijem da je [inlmath]k=\frac{-4}{3}[/inlmath]. Sad to zamenjujem u uslov dodira prave i kruznice [inlmath]r^2\cdot\left(k^2+1\right)=(-kp+q-n)^2[/inlmath] kako bih dobila [inlmath]n[/inlmath]. Kada zamenim sve i izracunam dobijem da je [inlmath]n_1=\frac{29}{3}[/inlmath], a [inlmath]n_2=-7[/inlmath]. Na osnovu toga pravim dve jednacine za tangentu [inlmath]4x+3y-29=0[/inlmath] i [inlmath]4x+3y+21=0[/inlmath]

Sada gledam drugi slucaj za [inlmath]-1[/inlmath]. Tu dobijem da je [inlmath]k=\frac{3}{4}[/inlmath]. Ponovo menjam u uslov dodira i dobijam [inlmath]n_1=\frac{11}{2}[/inlmath], a [inlmath]n_2=-7[/inlmath]. Sad opet pravim dve jednacine [inlmath]3x-4y+22=0[/inlmath] i [inlmath]3x-4y-28=0[/inlmath]. Medjutim, u resenju stoje samo prve dve jednacine za tangente kruznice. Zasto ne gledamo i ovaj drugi slucaj kad vec imam ovu apsolutnu vrednost? Ako neko uoci neku gresku, hvala mu, izginuh sa ovim danas

I ovde su dobijena 4 resenja.

U ovoj zbirci koju ja imam pisu samo prva dva resenja

Nemam obicaj da tvrdim da je resenje u zbirci pogresno ali je ovo dobra prilika.

Bice da je njihov propust. Hvala puno!

Ja bih se takođe složio da su tačna sva četiri rešenja, mada mislim da ima autora koji pod uglom između dve prave smatraju ugao od prve ka drugoj, gledano u CCW smeru (suprotnom kazaljci sata). U tom slučaju, formula za ugao između dve prave piše se bez apsolutne vrednosti, tj. [inlmath]\mathrm{tg}\:\varphi=\frac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2}[/inlmath]. Moguće da je autor tog zadatka tumačio ugao između dve prave upravo na taj način.