MATEMANIJA

Pozdrav, interesuje me ovaj zadatak: Ako su [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] koeficijenti pravca tangenti na kruznicu
[dispmath]x^2+y^2+4x-21=0[/dispmath]
iz tacke [inlmath]A(8,5)[/inlmath] onda je proizvod [inlmath]k_1k_2[/inlmath] jednak. Odgovor je nula.
...
Ja sam ovako krenuo da radim zadatak:
[inlmath]C(-2,0)[/inlmath] i [inlmath]r=5\mbox{ cm}[/inlmath]
Napisem jednacinu prave koja sadrzi tacuku [inlmath]A(8,5)[/inlmath]:
[dispmath]5=8k+n[/dispmath]
Prava koja sadrzi tu tacku istovremeno je i tangenta kruznice. Na osnovu toga dobijem da je:
[dispmath]n=5-8k[/dispmath]
Posle to zamenim u jednacini dodira prave i kruznice:
[dispmath]r^2\left(k^2+1\right)=(kp-q+n)^2[/dispmath][dispmath]25\left(k^2+1\right)=(-2k+5-8k)^2[/dispmath]
[dispmath]25\left(k^2+1\right)=(5-10k)^2[/dispmath][dispmath]25k^2+25=25-100k+100k^2[/dispmath][dispmath]75k^2-100k=0[/dispmath][dispmath]25k(3k-4)=0[/dispmath][dispmath]k=0\;\lor\;k=\frac{4}{3}[/dispmath]
Jedino sto mene ovde buni je: Da li se na kraju uvek ova dva resenja koja dobijem ubacujem u jednacinu tangente? Evo i slike, na njoj se vidi da je jedna tangenta [inlmath]y=5[/inlmath] sto znaci da nema [inlmath]k[/inlmath]... I kada se ta nula ubaci u jednacinu tangente onda se dobije da je [inlmath]y=5[/inlmath]

Anonimo je napisao:Da li se na kraju uvek ova dva resenja koja dobijem ubacujem u jednacinu tangente? Evo i slike, na njoj se vidi da je jedna tangenta [inlmath]y=5[/inlmath] sto znaci da nema [inlmath]k[/inlmath]... I kada se ta nula ubaci u jednacinu tangente onda se dobije da je [inlmath]y=5[/inlmath]

Upravo tako. Kada je [inlmath]k=0[/inlmath], prava je horizontalna, tj. paralelna s [inlmath]x[/inlmath]-osom (što se na slici lepo i vidi). To je logično, jer [inlmath]k[/inlmath] predstavlja nagib prave u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu. Kada je [inlmath]k=0[/inlmath], nagib je nula, tj. nema nagiba [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] prava je horizontalna.

BTW na slici imaš grešku – crtao si kao da je centar kružnice u [inlmath]\left(2,0\right)[/inlmath], a treba da bude u [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath], kao što si ispravno i računao. Zbog toga ti na slici ova druga tangenta, s koeficijentom pravca [inlmath]k=\frac{4}{3}[/inlmath], izgleda da je s većim nagibom nego što bi trebalo da bude.