MATEMANIJA

Pozdrav

Evo vec duze vreme pokusavam da resim problem,ali ne ide.Bio bih zahvalan na maloj pomoci

Naime,date su mi tacke [inlmath]A(-1,0,-4)\;B(7,2,2)\;C(2,1,3)\;D(0,-1,1)[/inlmath] i zadatak je naci zajednicku normalu na prave odredjene sa [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath].

Odredio sam jednacine pravih,proverio da li su paralelne (nisu,sto bi verovatno znacilo da su mimoilazne) .Verujem da je potrebno odrediti neku tacku na jednoj od pravih(ili na obe prave) kako bih kroz istu provukao trazenu normalu,ali nisam siguran kako.Takodje nisam siguran da li mogu da koristim vec date tacke,s obzirom na to da je receno da se one nalaze na pravama.
Eto to je neko moje razmisljanje o zadatku,makar do dela do kog sam imao bilo kakavu ideju kako se radi,sve ostalo mi je misterija

Kada se odrede jednacine pravih [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] i [inlmath]\vec{CD}[/inlmath] u opstem obliku (odnosno parametarskom), onda presecne tacke datih prava i normale (recimo [inlmath]\vec n[/inlmath]) nalazimo iz uslova [inlmath]\vec{AB}\cdot\vec n=0[/inlmath] (jer je [inlmath]\vec{AB}\perp\vec n[/inlmath]) i [inlmath]\vec{CD}\cdot\vec n=0[/inlmath] (sa "[inlmath]\cdot[/inlmath]" je oznacen skalaran (euklidski) proizvod u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]), gde je [inlmath]\vec{n}[/inlmath] odredjena (za sada) sa dve proizvoljne tacke iz [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] i [inlmath]\vec{CD}[/inlmath] (jedna sa jedne, druga sa druge). Naime, tada se dobija sistem od dve jednacine cije resenje predstavlja vrednost parametra jedne, tj. druge jednacine, za koje dobijamo presecne tacke. Kada nadjemo presecne tacke onda lako nalazimo i jednacinu trazene normale (jer onda sadrzi te tacke).

vektor [inlmath]\vec n[/inlmath] sam predstavio kao [inlmath]\vec n=x\vec i+y\vec j+z\vec k[/inlmath] ,nasao parametarske jednacine obe prave (npr [inlmath]x[/inlmath] je [inlmath]x=4t-1[/inlmath] gde [inlmath]\forall t\in\mathbb{R}[/inlmath]) ,skalarno pomnozio vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath] ([inlmath]\vec p[/inlmath]) sa [inlmath]\vec n[/inlmath](prava [inlmath]p[/inlmath] je odredjena tackama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]) i umesto gore pomenutih [inlmath]x,y,z[/inlmath] zamenio parametarske,resio jednacinu i dobio parametar [inlmath]t[/inlmath]. Isto uradio i za pravu odredjenu tackama [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath].
Ako je ovaj postupak pravilan,onda prestajem da brinem zbog cudnih resenja

Onomatopejin postupak jeste pravilan, a u ovom zadatku se ne dobiju čudna, nego baš fina rešenja.
[dispmath]\left.\begin{array}{l}M\left(3,1,-1\right)\\
N\left(1,0,2\right)
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\vec{MN}=\left<2,1,-3\right>[/dispmath]
i onda zajedničku normalu možeš predstaviti bilo kojom od sledeće dve jednačine:
[dispmath]n:\quad\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-3}\\
n:\quad\frac{x-1}{2}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-2}{-3}[/dispmath]
Meni se čini da ti u svom postupku nisi pravio razliku između onih [inlmath]x,y,z[/inlmath] koji figurišu u [inlmath]\vec n=x\vec i + y\vec j + z\vec k[/inlmath] i onih koji figurišu u parametarskim jednačinama pravih. To nisu isti [inlmath]x,y,z[/inlmath].
Vektor normale i ne treba da pišeš kao [inlmath]\vec n=x\vec i+y\vec j+z\vec k[/inlmath], već upravo onako kako ti je Onomatopeja objasnio.
Znači, odaberi proizvoljnu tačku [inlmath]M[/inlmath] na pravoj [inlmath]p[/inlmath], zatim proizvoljnu tačku [inlmath]N[/inlmath] na pravoj [inlmath]q[/inlmath], predstavi ih parametarski, odatle izrazi vektor [inlmath]\vec{MN}[/inlmath] i kad postaviš uslov da vektor [inlmath]\vec{MN}[/inlmath] bude normalan na obe prave – i [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], tada će vektor [inlmath]\vec{MN}[/inlmath] predstavljati vektor tražene normale.

Mogao bih odma da dam odgovor, ali mislim da je bolje sam da uradis. Takodje bih napomenuo da sam se malo "nezgodno" izrazio dok sam objasnjavao postupak resavanja. Ideja (daj da malo razradimo) je da znas da normala na ove dve prave sece obe prave. Recimo da je [inlmath]n\cap AB=M[/inlmath] i [inlmath]n\cap CD=N[/inlmath]. Mi znamo da tacka [inlmath]M[/inlmath] pripada [inlmath]AB[/inlmath] i da [inlmath]N[/inlmath] pripada [inlmath]CD[/inlmath], ali ne znamo (za sada) konkretno koje su to tacke. Ali znamo da pripadaju ovim dvema pravama i to je bitna informacija. Zato mozemo pretpostaviti da je (recimo, ti tacno odredi, mene mrzi da racunam) [inlmath]M_t=(t-5,4t-1,2t+5)[/inlmath] i recimo (dakle, recimo) [inlmath]N_s=(2s,s-1,14s+12)[/inlmath] ([inlmath]M_t[/inlmath] je proizvoljna tacka sa [inlmath]AB[/inlmath] (koja zavisi naravno od [inlmath]t[/inlmath])). Tada nadjes vektor pravca od [inlmath]M_tN_s[/inlmath]. Zapravo [inlmath]M_tN_s[/inlmath] predstavlja (kada "prosaramo" parametrima [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] proizvoljno) jednacine svih prava koje spajaju tacke sa [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath] (jednu sa jednom). Ali posto mi zelimo da nadjemo normalnu mi onda nametnemo uslov [inlmath]M_tN_s\cdot AB=0[/inlmath] (tj. da su medjusobno ortogonalni) i slicno za [inlmath]CD[/inlmath]. Onda dobijamo sistem (dve jednacine) odakle nalazimo konkretne [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath]. I tada je (recimo da je [inlmath]t=1,s=2[/inlmath]) [inlmath]M=(-4,3,7)[/inlmath], a [inlmath]N=(4,1,40)[/inlmath]. Odatle lako nalazimo jednacinu prave [inlmath]n[/inlmath] (jer ona prolazi kroz ove konkretne tacke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath]). Valjda te nisam zbunio, ponekad umem da preteram sa detaljima.

Napisi i sta si dobio kao resenje (bilo bi lepo da napises sve posebno, jednacinu prave [inlmath]AB[/inlmath], prave [inlmath]CD[/inlmath], sistem i resenje sistema, a zatim i jednacinu prave [inlmath]n[/inlmath]), kako bismo znali da li si sve shvatio kako bi trebalo.


Mrzelo me je da pisem oznake za vektore (a i nema potrebe za tolikim formalizmom).

I da, video sam (sad) Danielov odgovor, ali mislim da nista ne kosta da stoji i ovaj odgovor.

Da,sad vidim gde sam pogresio.
Napisacu,naravno.Hvala na pomoci Nadam se da ce biti to to...

@Lazar,
preporučujem ovu temu.
Veruj mi da odavde može mnogo da se nauči.
Posebno u vezi s mimoilaznim pravama u prostoru.

Pogledacu,hvala

E ovako,posle duzeg vremena koje mi je trebalo da shvatim da je [inlmath]6\cdot7=42[/inlmath] a ne [inlmath]35[/inlmath], dobio sam resenje koje je tacno! mala sala,od jutros sam za knjigom pa i ne cudi...

jednacina prave [inlmath]p[/inlmath], odnosno prave odredjene tackama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] je [inlmath]p:\;\frac{x+1}{8}=\frac{y}{2}=\frac{x+4}{6}[/inlmath]
prava [inlmath]q[/inlmath] je odredjena tackama [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] i njena jednacina je [inlmath]q:\;\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{-2}[/inlmath]

parametarske jednacine prave su
[inlmath]p:\begin{cases}
x=8t-1\\
y=2t\\
z=6t-4
\end{cases}\quad\forall t\in\mathbb{R}\\
q:\begin{cases}
x=2-2s\\
y=1-2s\\
z=3-2s
\end{cases}\quad\forall s\in\mathbb{R}[/inlmath]

Odredimo dve proizvoljne tacke: [inlmath]M\in p[/inlmath] i [inlmath]N\in q[/inlmath]
[inlmath]M(8t-1,\;2t,\;6t-4)[/inlmath] i [inlmath]N(2-2s,\;1-2s,\;3-2s)[/inlmath]

Uslov normalnosti je: [inlmath]\vec p\cdot\vec{MN}=0[/inlmath], isto vazi i za vektor pravca prave [inlmath]q[/inlmath].
[ [inlmath]\vec{MN}=(3-2s-8t,\;1-2s-2t,\;7-2s-6t)[/inlmath] ]
Koristeci ta dva uslova dobijamo sledeci sistem jednacina :
[inlmath]\begin{array}{l}
104t+32s=68\\
16t+6s=11
\end{array}\quad\Longrightarrow\quad t=s=\frac{1}{2}[/inlmath]

Znaci [inlmath]M(3,1,-1),\;N(1,0,2)[/inlmath] a [inlmath]\vec{MN}=-2\vec i-\vec j+3\vec k[/inlmath]
Dalje, [inlmath]n:\;\frac{x-3}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{3}[/inlmath]

To bi bilo to.Hvala jos jednom na pomoci,mnogo je znacilo!
Inace,izvinjavam se ako je nepregledno,moram malo da se naviknem na ovaj nacin pisanja izraza

Bravo. Sve tačno.

Dao bih ti samo neke male sugestije.

Lazar je napisao:jednacina prave [inlmath]p[/inlmath], odnosno prave odredjene tackama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] je [inlmath]p:\;\frac{x+1}{8}=\frac{y}{2}=\frac{x+4}{6}[/inlmath]
prava [inlmath]q[/inlmath] je odredjena tackama [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] i njena jednacina je [inlmath]q:\;\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{-2}[/inlmath]

Radi lakšeg računa, poželjno je, kako sam detaljnije pisao u ovom postu, komponente vektora pravaca svesti na što manje cele brojeve. Tada bi vektor pravca [inlmath]p[/inlmath] bio [inlmath]\left<4,1,3\right>[/inlmath] umesto [inlmath]\left<8,2,6\right>[/inlmath], a vektor pravca [inlmath]q[/inlmath] bi, umesto [inlmath]\left<-2,-2,-2\right>[/inlmath], jednostavno, bio [inlmath]\left<1,1,1\right>[/inlmath]. To, veruj mi, mnogo štedi živce i vreme prilikom daljeg računanja, a i drastično smanjuje verovatnoću greške (tada, uostalom, ne bi ni imao množenje [inlmath]6\cdot7[/inlmath], već samo [inlmath]3\cdot7[/inlmath], mada mislim da ni ovako nije ispalo loše jer posle ovoga sigurno više nikad u životu nećeš ni pomisliti da je [inlmath]6\cdot7[/inlmath] jednako ijednom drugom broju osim [inlmath]42[/inlmath]. )

Sada bih ti, ako imaš slobodnog vremena i volje, preporučio da pokušaš zadatak da uradiš i na način koji sam predložio u ovom postu. Sigurno ne može da škodi.

Lazar je napisao:Inace,izvinjavam se ako je nepregledno,moram malo da se naviknem na ovaj nacin pisanja izraza

Bio sam slobodan da malo doteram i ulepšam. Ovako je sigurno preglednije. Klikom na dugme „citiraj“ kod svog posta možeš, ako želiš, videti kako sada izgleda Latex-kôd.