MATEMANIJA

Pozdrav

Evo vec duze vreme pokusavam da resim problem,ali ne ide.Bio bih zahvalan na maloj pomoci

Naime,date su mi tacke [inlmath]A(-1,0,-4)\;B(7,2,2)\;C(2,1,3)\;D(0,-1,1)[/inlmath] i zadatak je naci zajednicku normalu na prave odredjene sa [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath].

Odredio sam jednacine pravih,proverio da li su paralelne (nisu,sto bi verovatno znacilo da su mimoilazne) .Verujem da je potrebno odrediti neku tacku na jednoj od pravih(ili na obe prave) kako bih kroz istu provukao trazenu normalu,ali nisam siguran kako.Takodje nisam siguran da li mogu da koristim vec date tacke,s obzirom na to da je receno da se one nalaze na pravama.
Eto to je neko moje razmisljanje o zadatku,makar do dela do kog sam imao bilo kakavu ideju kako se radi,sve ostalo mi je misterija

Kada se odrede jednacine pravih [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] i [inlmath]\vec{CD}[/inlmath] u opstem obliku (odnosno parametarskom), onda presecne tacke datih prava i normale (recimo [inlmath]\vec n[/inlmath]) nalazimo iz uslova [inlmath]\vec{AB}\cdot\vec n=0[/inlmath] (jer je [inlmath]\vec{AB}\perp\vec n[/inlmath]) i [inlmath]\vec{CD}\cdot\vec n=0[/inlmath] (sa "[inlmath]\cdot[/inlmath]" je oznacen skalaran (euklidski) proizvod u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]), gde je [inlmath]\vec{n}[/inlmath] odredjena (za sada) sa dve proizvoljne tacke iz [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] i [inlmath]\vec{CD}[/inlmath] (jedna sa jedne, druga sa druge). Naime, tada se dobija sistem od dve jednacine cije resenje predstavlja vrednost parametra jedne, tj. druge jednacine, za koje dobijamo presecne tacke. Kada nadjemo presecne tacke onda lako nalazimo i jednacinu trazene normale (jer onda sadrzi te tacke).

vektor [inlmath]\vec n[/inlmath] sam predstavio kao [inlmath]\vec n=x\vec i+y\vec j+z\vec k[/inlmath] ,nasao parametarske jednacine obe prave (npr [inlmath]x[/inlmath] je [inlmath]x=4t-1[/inlmath] gde [inlmath]\forall t\in\mathbb{R}[/inlmath]) ,skalarno pomnozio vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath] ([inlmath]\vec p[/inlmath]) sa [inlmath]\vec n[/inlmath](prava [inlmath]p[/inlmath] je odredjena tackama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]) i umesto gore pomenutih [inlmath]x,y,z[/inlmath] zamenio parametarske,resio jednacinu i dobio parametar [inlmath]t[/inlmath]. Isto uradio i za pravu odredjenu tackama [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath].
Ako je ovaj postupak pravilan,onda prestajem da brinem zbog cudnih resenja

Onomatopejin postupak jeste pravilan, a u ovom zadatku se ne dobiju čudna, nego baš fina rešenja.
[dispmath]\left.\begin{array}{l}M\left(3,1,-1\right)\\
N\left(1,0,2\right)
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\vec{MN}=\left<2,1,-3\right>[/dispmath]
i onda zajedničku normalu možeš predstaviti bilo kojom od sledeće dve jednačine:
[dispmath]n:\quad\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-3}\\
n:\quad\frac{x-1}{2}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-2}{-3}[/dispmath]
Meni se čini da ti u svom postupku nisi pravio razliku između onih [inlmath]x,y,z[/inlmath] koji figurišu u [inlmath]\vec n=x\vec i + y\vec j + z\vec k[/inlmath] i onih koji figurišu u parametarskim jednačinama pravih. To nisu isti [inlmath]x,y,z[/inlmath].
Vektor normale i ne treba da pišeš kao [inlmath]\vec n=x\vec i+y\vec j+z\vec k[/inlmath], već upravo onako kako ti je Onomatopeja objasnio.
Znači, odaberi proizvoljnu tačku [inlmath]M[/inlmath] na pravoj [inlmath]p[/inlmath], zatim proizvoljnu tačku [inlmath]N[/inlmath] na pravoj [inlmath]q[/inlmath], predstavi ih parametarski, odatle izrazi vektor [inlmath]\vec{MN}[/inlmath] i kad postaviš uslov da vektor [inlmath]\vec{MN}[/inlmath] bude normalan na obe prave – i [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], tada će vektor [inlmath]\vec{MN}[/inlmath] predstavljati vektor tražene normale.

Mogao bih odma da dam odgovor, ali mislim da je bolje sam da uradis. Takodje bih napomenuo da sam se malo "nezgodno" izrazio dok sam objasnjavao postupak resavanja. Ideja (daj da malo razradimo) je da znas da normala na ove dve prave sece obe prave. Recimo da je [inlmath]n\cap AB=M[/inlmath] i [inlmath]n\cap CD=N[/inlmath]. Mi znamo da tacka [inlmath]M[/inlmath] pripada [inlmath]AB[/inlmath] i da [inlmath]N[/inlmath] pripada [inlmath]CD[/inlmath], ali ne znamo (za sada) konkretno koje su to tacke. Ali znamo da pripadaju ovim dvema pravama i to je bitna informacija. Zato mozemo pretpostaviti da je (recimo, ti tacno odredi, mene mrzi da racunam) [inlmath]M_t=(t-5,4t-1,2t+5)[/inlmath] i recimo (dakle, recimo) [inlmath]N_s=(2s,s-1,14s+12)[/inlmath] ([inlmath]M_t[/inlmath] je proizvoljna tacka sa [inlmath]AB[/inlmath] (koja zavisi naravno od [inlmath]t[/inlmath])). Tada nadjes vektor pravca od [inlmath]M_tN_s[/inlmath]. Zapravo [inlmath]M_tN_s[/inlmath] predstavlja (kada "prosaramo" parametrima [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] proizvoljno) jednacine svih prava koje spajaju tacke sa [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath] (jednu sa jednom). Ali posto mi zelimo da nadjemo normalnu mi onda nametnemo uslov [inlmath]M_tN_s\cdot AB=0[/inlmath] (tj. da su medjusobno ortogonalni) i slicno za [inlmath]CD[/inlmath]. Onda dobijamo sistem (dve jednacine) odakle nalazimo konkretne [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath]. I tada je (recimo da je [inlmath]t=1,s=2[/inlmath]) [inlmath]M=(-4,3,7)[/inlmath], a [inlmath]N=(4,1,40)[/inlmath]. Odatle lako nalazimo jednacinu prave [inlmath]n[/inlmath] (jer ona prolazi kroz ove konkretne tacke [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath]). Valjda te nisam zbunio, ponekad umem da preteram sa detaljima.

Napisi i sta si dobio kao resenje (bilo bi lepo da napises sve posebno, jednacinu prave [inlmath]AB[/inlmath], prave [inlmath]CD[/inlmath], sistem i resenje sistema, a zatim i jednacinu prave [inlmath]n[/inlmath]), kako bismo znali da li si sve shvatio kako bi trebalo.


Mrzelo me je da pisem oznake za vektore (a i nema potrebe za tolikim formalizmom).

I da, video sam (sad) Danielov odgovor, ali mislim da nista ne kosta da stoji i ovaj odgovor.

Da,sad vidim gde sam pogresio.
Napisacu,naravno.Hvala na pomoci Nadam se da ce biti to to...

@Lazar,
preporučujem ovu temu.
Veruj mi da odavde može mnogo da se nauči.
Posebno u vezi s mimoilaznim pravama u prostoru.

Pogledacu,hvala

E ovako,posle duzeg vremena koje mi je trebalo da shvatim da je [inlmath]6\cdot7=42[/inlmath] a ne [inlmath]35[/inlmath], dobio sam resenje koje je tacno! mala sala,od jutros sam za knjigom pa i ne cudi...

jednacina prave [inlmath]p[/inlmath], odnosno prave odredjene tackama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] je [inlmath]p:\;\frac{x+1}{8}=\frac{y}{2}=\frac{x+4}{6}[/inlmath]
prava [inlmath]q[/inlmath] je odredjena tackama [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] i njena jednacina je [inlmath]q:\;\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{-2}[/inlmath]

parametarske jednacine prave su
[inlmath]p:\begin{cases}
x=8t-1\\
y=2t\\
z=6t-4
\end{cases}\quad\forall t\in\mathbb{R}\\
q:\begin{cases}
x=2-2s\\
y=1-2s\\
z=3-2s
\end{cases}\quad\forall s\in\mathbb{R}[/inlmath]

Odredimo dve proizvoljne tacke: [inlmath]M\in p[/inlmath] i [inlmath]N\in q[/inlmath]
[inlmath]M(8t-1,\;2t,\;6t-4)[/inlmath] i [inlmath]N(2-2s,\;1-2s,\;3-2s)[/inlmath]

Uslov normalnosti je: [inlmath]\vec p\cdot\vec{MN}=0[/inlmath], isto vazi i za vektor pravca prave [inlmath]q[/inlmath].
[ [inlmath]\vec{MN}=(3-2s-8t,\;1-2s-2t,\;7-2s-6t)[/inlmath] ]
Koristeci ta dva uslova dobijamo sledeci sistem jednacina :
[inlmath]\begin{array}{l}
104t+32s=68\\
16t+6s=11
\end{array}\quad\Longrightarrow\quad t=s=\frac{1}{2}[/inlmath]

Znaci [inlmath]M(3,1,-1),\;N(1,0,2)[/inlmath] a [inlmath]\vec{MN}=-2\vec i-\vec j+3\vec k[/inlmath]
Dalje, [inlmath]n:\;\frac{x-3}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{3}[/inlmath]

To bi bilo to.Hvala jos jednom na pomoci,mnogo je znacilo!
Inace,izvinjavam se ako je nepregledno,moram malo da se naviknem na ovaj nacin pisanja izraza

Bravo. Sve tačno.

Dao bih ti samo neke male sugestije.

Lazar je napisao:jednacina prave [inlmath]p[/inlmath], odnosno prave odredjene tackama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] je [inlmath]p:\;\frac{x+1}{8}=\frac{y}{2}=\frac{x+4}{6}[/inlmath]
prava [inlmath]q[/inlmath] je odredjena tackama [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] i njena jednacina je [inlmath]q:\;\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{-2}[/inlmath]

Radi lakšeg računa, poželjno je, kako sam detaljnije pisao u ovom postu, komponente vektora pravaca svesti na što manje cele brojeve. Tada bi vektor pravca [inlmath]p[/inlmath] bio [inlmath]\left<4,1,3\right>[/inlmath] umesto [inlmath]\left<8,2,6\right>[/inlmath], a vektor pravca [inlmath]q[/inlmath] bi, umesto [inlmath]\left<-2,-2,-2\right>[/inlmath], jednostavno, bio [inlmath]\left<1,1,1\right>[/inlmath]. To, veruj mi, mnogo štedi živce i vreme prilikom daljeg računanja, a i drastično smanjuje verovatnoću greške (tada, uostalom, ne bi ni imao množenje [inlmath]6\cdot7[/inlmath], već samo [inlmath]3\cdot7[/inlmath], mada mislim da ni ovako nije ispalo loše jer posle ovoga sigurno više nikad u životu nećeš ni pomisliti da je [inlmath]6\cdot7[/inlmath] jednako ijednom drugom broju osim [inlmath]42[/inlmath]. )

Sada bih ti, ako imaš slobodnog vremena i volje, preporučio da pokušaš zadatak da uradiš i na način koji sam predložio u ovom postu. Sigurno ne može da škodi.

Lazar je napisao:Inace,izvinjavam se ako je nepregledno,moram malo da se naviknem na ovaj nacin pisanja izraza

Bio sam slobodan da malo doteram i ulepšam. Ovako je sigurno preglednije. Klikom na dugme „citiraj“ kod svog posta možeš, ako želiš, videti kako sada izgleda Latex-kôd.

Svaka sugestija je pozeljna. Pokusacu i na drugi nacin,svakako!

Pozdrav!
Zanima me da li mi je dobra ideja pri resavanju sledeceg zadatka: napisati jednacinu ravni koja sadrzi dve poznate tacke [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath] i paralelna je poznatoj pravi [inlmath]l[/inlmath].
Moja ideja: prave [inlmath]PQ[/inlmath] i [inlmath]l[/inlmath] su u opstem slucaju mimoilazne prave; treba naci njihovu normalu i videti u kojoj tacki ona sece pravu [inlmath]PQ[/inlmath], i resavanjem sistema jednacina sa tri nepoznate ([inlmath]P[/inlmath], [inlmath]Q[/inlmath], i tacka preseka) naci jednacinu ravni.
Ovako uradjen zadatak mi je dao jedan slobodni clan u jednacini ravni, tj. zavisnost jednog parametra od drugog. Da li je to moguce?

Hvala na odgovoru

sarakej je napisao:i resavanjem sistema jednacina sa tri nepoznate ([inlmath]P[/inlmath], [inlmath]Q[/inlmath], i tacka preseka) naci jednacinu ravni.

Obrati pažnju na to da su ove tri tačke kolinearne, što znači da one ne određuju ravan (ravan određuju tri nekolinearne tačke).
Prema tome, ovaj sistem od tri jednačine s tri nepoznate biće linearno zavisan, tj. jedna jednačina će slediti iz prethodne dve. To je onda isto kao da imamo sistem od dve jednačine s tri nepoznate.
Uostalom, zamisli to i u prostoru. Kroz tri kolinearne tačke ne možeš jednoznačno postaviti ravan, tj. tu ravan koju postaviš možeš po volji rotirati oko te prave određene tim triju kolinearnim tačkama.

Ovaj zadatak se može jednostavno uraditi tako što prvo odrediš vektor normale tražene ravni kao vektorski proizvod vektora [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] i [inlmath]\vec l[/inlmath]. Zašto vektorski proizvod – zato što je traženi vektor normale upravan i na vektor [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] i na vektor [inlmath]\vec l[/inlmath]. Ovime odrediš koeficijente [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] u jednačini ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath]. Radi određivanja preostalog koeficijenta [inlmath]D[/inlmath], uvrstiš poznate koordinate neke od dveju tačaka [inlmath]A[/inlmath] ili [inlmath]B[/inlmath] i rešiš jednačinu po [inlmath]D[/inlmath].

U medjuvremenu sam se setila da uradim na taj nacin, ali mi nije palo na pamet da ova prva ideja ne pije vodu jer su tacke kolinearne.
Hvala

Jos nesto, sto se tice vektorskog proizvoda nije bitno koji je prvi, koji drugi vektor? Pretpostavljam da promena znaka ne menja bitno stvar.
Pozdrav!

Tako je, nije bitan znak.
Kod vektora normale neke ravni posmatramo isključivo pravac, dok intenzitet i smer nisu od značaja.

Ja po drugi put u istoj temi preporučujem ovu temu.
Nije mi jasno šta to nije jasno u, hajde da kažem, tutorijalu baš na ovu temu.
Nije mi jasno takođe zašto korisnici (konkretno: @sarakej) ne idu na linkove, na tacni linkove i to unutar foruma Matemanija.

@desideri, pitanje koje je sarakej postavila nije u vezi s tutorijalom koji si pisao i na koji si linkovao (a koji je, opet kažem, izvrsno i za svaku pohvalu napisan).
Zbog toga mislim da tvoje negodovanje nije na mestu i da je korisnica sarakej sasvim lepo, i na kulturan način, postavila pitanje i zahvalila se na odgovoru.