MATEMANIJA

Ako su prave [inlmath]\displaystyle y=\frac{2}{3}x[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle y=-\frac{2}{3}x[/inlmath] asimptote hiperbole [inlmath]\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath] a prava [inlmath]y=x+2\sqrt5[/inlmath] njena tangenta onda je vrednost izraza [inlmath]a^2+b^2[/inlmath]
posto je to tangenta, primenim formulu za dodir [inlmath]a^2k^2-b^2=n^2[/inlmath]
[dispmath]k=1,\;n=2\sqrt5[/dispmath]
i iz toga sledi
[dispmath]a^2-b^2=20[/dispmath]
i to mi je verovatno neki prvi 'uslov' iz kog cemo da dobijemo [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], a za dalje trenutno nemam ideju

Mozes pogledati ovu temu.

Znaci, pored prve jednacine, dobices i drugu [inlmath]4a^2=9b^2[/inlmath], i iz tog sistema dobijas da je [inlmath]a^2=36[/inlmath] i [inlmath]b^2=16[/inlmath].

Čak i bez gledanja linkovane teme, trebalo bi da su ti poznate jednačine asimptota hiperbole [inlmath]\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath], koje glase [inlmath]\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x[/inlmath].

A izvode se jednostavno – tako što jednačinu hiperbole napišeš u eksplicitnom obliku, [inlmath]y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}[/inlmath], a zatim računaš [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] kosih asimptota tako napisane funkcije po poznatim formulama za kose asimptote, [inlmath]\displaystyle k=\!\lim_{x\to\pm\infty}\frac{y}{x}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle n=\!\lim_{x\to\pm\infty}\left(y-kx\right)[/inlmath].

Dakle, imaš opštu jednačinu asimptota hiperbole, [inlmath]\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x[/inlmath], imaš zadatu jednačinu asimptote hiperbole, [inlmath]\displaystyle y=\pm\frac{2}{3}x[/inlmath], odakle se odmah vidi [inlmath]\displaystyle\frac{b}{a}=\frac{2}{3}[/inlmath] i to je jedna jednačina s dve nepoznate. Druga će biti ona koju si već odredio, [inlmath]a^2-b^2=20[/inlmath].