MATEMANIJA

Data je tacka [inlmath]P(1,1)[/inlmath] i elipsa [inlmath]9x^2+16y^2=144[/inlmath] Koja je jednacina secice elipse kojoj je [inlmath]P[/inlmath] srediste?

Kada prebacimo u kanonski oblik jednacina elipse glasi:

[inlmath]\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1[/inlmath] i odatle dobijamo da je [inlmath]a=4,\;b=3[/inlmath]
E sad dalje mi nije jasno - valjda bi trebalo da se trazi presek elipse i sekante da bi se utvrdilo da li je prava paralelna sa [inlmath]x[/inlmath] ili [inlmath]y[/inlmath] osom pa onda da se nadje jednacina te sekante. Ali ne znam kako bih to odradio - preko kojih formula

Da se nađu preseci elipse i sečice – to da, ali ne razumem ovo s paralelnošću s nekom od osa.
Takođe, nema potrebe ni za prebacivanjem u kanonski oblik.

Ako obeležimo jedan presek sa [inlmath]A\left(x_A,y_A\right)[/inlmath], a drugi sa [inlmath]B\left(x_B,y_B\right)[/inlmath], kao na slici:


tada će koordinate tačke [inlmath]P[/inlmath], koja se nalazi tačno na sredini duži [inlmath]\overline{AB}[/inlmath], biti:[dispmath]x_P=\frac{x_A+x_B}{2},\quad y_P=\frac{y_A+y_B}{2}[/dispmath][dispmath]1=\frac{x_A+x_B}{2},\quad 1=\frac{y_A+y_B}{2}[/dispmath][dispmath]x_A+x_B=2,\quad y_A+y_B=2[/dispmath][dispmath]x_B=2-x_A,\quad y_B=2-y_A[/dispmath]
Pošto tačka [inlmath]A[/inlmath] pripada elipsi:[dispmath]9x_A^2+16y_A^2=144\quad\left(1\right)[/dispmath]
Pošto i tačka [inlmath]B[/inlmath] pripada elipsi:[dispmath]9x_B^2+16y_B^2=144[/dispmath][dispmath]9\left(2-x_A\right)^2+16\left(2-y_A\right)^2=144\quad\left(2\right)[/dispmath]
Jednačine [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] čine sistem od dve jednačine s dve nepoznate, iz kojeg možemo naći koordinate tačke [inlmath]A[/inlmath].
Naravno, treba da se dobiju dva rešenja, pošto postoje dva preseka elipse i sečice.
Jedno rešenje će biti[dispmath]A\left(1-\frac{4\sqrt{119}}{15},1+\frac{3\sqrt{119}}{20}\right)[/dispmath]a drugo[dispmath]A\left(1+\frac{4\sqrt{119}}{15},1-\frac{3\sqrt{119}}{20}\right)[/dispmath](Zapravo, ovo drugo rešenje bi odgovaralo tački [inlmath]B[/inlmath] sa crteža.)

Sada možemo sasvim lako naći jednačinu sečice, pošto imamo koordinate triju tačaka koje ista sadrži, a dovoljne su nam dve.
Koristimo formulu za jednačinu prave kada su poznate njene dve tačke:[dispmath]y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\left(x-x_A\right)[/dispmath]
Ovde nam je jednostavnije da koristimo tačku [inlmath]P[/inlmath] (zato što ima „lepše“ koordinate) i jednu od ove dve presečne tačke (recimo, tačku [inlmath]A[/inlmath]):[dispmath]y-y_P=\frac{y_A-y_P}{x_A-x_P}\left(x-x_P\right)[/dispmath][dispmath]y-1=\frac{1+\frac{3\sqrt{119}}{20}-1}{1-\frac{4\sqrt{119}}{15}-1}\left(x-1\right)[/dispmath][dispmath]y-1=\frac{\frac{3}{20}}{-\frac{4}{15}}\left(x-1\right)[/dispmath][dispmath]y-1=\frac{9}{16}\left(1-x\right)[/dispmath][dispmath]y=-\frac{9}{16}x+\frac{9}{16}+1[/dispmath][dispmath]y=-\frac{9}{16}x+\frac{25}{16}[/dispmath]

Bio sam siguran da ce se jednacina secice traziti preko jednacine prave kada su date dve tacke - ali nisam znao kako da nadjem drugu tacku - sada znam. Hvala ti

Meni nije jasno kako da iz tog sistema nadjemo koordinate ?
Je l iz prve izrazimo npr [inlmath]x_A[/inlmath] pa onda zamenimo u drugu ?

Kad razviješ jednačinu [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] dobićeš
[dispmath]36-36x_A+9x_A^2+64-64y_A+16y_A^2=144\\
36-36x_A+64-64y_A+\underbrace{9x_A^2+16y_A^2}_{\begin{matrix}144\mbox{, na osnovu}\\\mbox{ jednačine }\left(1\right)\end{matrix}}=144\\
36-36x_A+64-64y_A=0\\
y_A=\frac{25-9x_A}{16}[/dispmath]
i onda to uvrstiš u jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i dobićeš kvadratnu jednačinu,
[dispmath]9x_A^2+16\left(\frac{25-9x_A}{16}\right)^2=144\\
\vdots[/dispmath]

Mislim da je [inlmath]y[/inlmath] koordinata [inlmath]10+[/inlmath], a kod tacke [inlmath]B[/inlmath] [inlmath]10-[/inlmath] umesto [inlmath]1+[/inlmath] i [inlmath]1-[/inlmath] jer bi trebalo da je [inlmath]-b=400[/inlmath], a ako smo skracivali sa [inlmath]40[/inlmath] onda je [inlmath]\frac{400}{40}=10[/inlmath]. Mozda negde gresim ali vise puta sam uradio...

Možeš li malo da pojasniš pitanje?

lowzyyy je napisao:Mislim da je [inlmath]y[/inlmath] koordinata [inlmath]10+[/inlmath], a kod tacke [inlmath]B[/inlmath] [inlmath]10-[/inlmath] umesto [inlmath]1+[/inlmath] i [inlmath]1-[/inlmath]

Šta znače oznake [inlmath]10+[/inlmath], [inlmath]10-[/inlmath], [inlmath]1+[/inlmath] i [inlmath]1-[/inlmath]?

lowzyyy je napisao:jer bi trebalo da je [inlmath]-b=400[/inlmath],

To bi značilo da je [inlmath]b=-400[/inlmath], tj. da je [inlmath]b[/inlmath] negativno. Međutim, [inlmath]b[/inlmath] označava poluosu elipse i pozitivan je broj.
Osim toga, u prvom postu ove teme na vrlo jednostavan način je pokazano da je [inlmath]b=3[/inlmath].

lowzyyy je napisao:Mozda negde gresim ali vise puta sam uradio...

Grešiš sigurno, jer je slika koju sam priložio vrlo precizna i u srazmeri, a sa nje se vidi i da su vrednosti koje smo dobili ispravne.
Napiši ovde to što si uradio, pa ćemo da prodiskutujemo – ovako, bez tvog postupka, možemo samo da nagađamo.

I, molim te, koristi Latex.

Sve vreme sam radio sam [inlmath]Xb^2[/inlmath] umesto [inlmath](2-Xb)^2[/inlmath] i isto tako sa [inlmath](2-Yb)^2[/inlmath]
A latex nisam mogao jer sam bio u zurbi, nece se ponoviti

lowzyyy je napisao:Sve vreme sam radio sam [inlmath]Xb^2[/inlmath] umesto [inlmath](2-Xb)^2[/inlmath] i isto tako sa [inlmath](2-Yb)^2[/inlmath]

Žao mi je, al' stvarno ništa ne razumem ni šta si hteo ovime da kažeš, ni šta ti te oznake predstavljaju...

Uglavnom, je l' ti sad jasno to što si pitao?

Veliki pozdrav, imam jedno pitanje:
znaci da li je
[inlmath]-36x_1-64y_1=-100[/inlmath] ... [inlmath]36x_1-64y_1=100[/inlmath] upravo ta trazena jednacina secice elipse?

Veliki pozdrav i tebi, ali bih te zamolio da:

• koristiš Latex, onako kako to čine i svi ostali, a kako je i obavezujuće tačkom 13. Pravilnika;
• ne citiraš ceo post bez potrebe (tačka 15. Pravilnika);
• pročitaš Pravilnik foruma.

Gore sam napisao kako glasi tražena jednačina sečice elipse u eksplicitnom obliku:

Daniel je napisao:[dispmath]y=-\frac{9}{16}x+\frac{25}{16}[/dispmath]

što bi, nakon prebacivanja u implicitni oblik, bilo
[dispmath]9x+16y-25=0[/dispmath]
i to bi, nakon (nepotrebnog) množenja sa [inlmath]\left(-4\right)[/inlmath], odgovaralo prvoj od tvoje dve jednačine, s tim da ne znam šta u tvojim jednačinama predstavlja ovaj indeks [inlmath]_1[/inlmath] kod [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].
Druga jednačina ti ne valja. Sasvim je i logično da ne mogu obe jednačine biti tačne, budući da treba da dobijemo samo jednu sečicu elipse.

Hvala na odgovoru, hteo sam da pitam da li to onda znaci da uopste nismo morali da uvrstavamo [inlmath]y_A[/inlmath] u prvu jednacinu pa da dobijamo kvadratnu jednacinu nego da je vec ta jednacina iz koje smo izvukli [inlmath]y_A[/inlmath] upravo jednacina pravca secice elipse. Jel sam u pravu?
[dispmath]36-36x_A+64-64y_A=0[/dispmath][dispmath]-36x_A-64y_A=-100[/dispmath][dispmath]36x_A+64y_A=100[/dispmath]
A kada [inlmath]x_A[/inlmath] i [inlmath]y_A[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] dobijemo:
[dispmath]36x+64y=100[/dispmath][dispmath]9x+16y=25[/dispmath][dispmath]y=-\frac{9}{16}x+\frac{25}{16}[/dispmath]
A meni se cini da sam u prethodnom postu napisao identicne jednacine samo sto je druga bila pomnozena sa [inlmath](-1)[/inlmath], ali sada vidim da je [inlmath]-[/inlmath] ispred drugog clana binoma u drugoj jednacini (treba da bude [inlmath]+[/inlmath]).
Jel ovo moze i ovako ili je sada slucajno dobijeno tacno resenje?

Aha, sad kontam šta je zapravo tvoje pitanje. Ti si u prošlom postu citirao ovaj moj post,

Daniel je napisao:Kad razviješ jednačinu [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] dobićeš
[dispmath]36-36x_A+9x_A^2+64-64y_A+16y_A^2=144\\
36-36x_A+64-64y_A+\underbrace{9x_A^2+16y_A^2}_{\begin{matrix}144\mbox{, na osnovu}\\\mbox{ jednačine }\left(1\right)\end{matrix}}=144\\
36-36x_A+64-64y_A=0\\
y_A=\frac{25-9x_A}{16}[/dispmath]
i onda to uvrstiš u jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i dobićeš kvadratnu jednačinu,
[dispmath]9x_A^2+16\left(\frac{25-9x_A}{16}\right)^2=144\\
\vdots[/dispmath]

koji zaista jeste bitan za ovo što pitaš i izvinjavam ti se što sam taj citat uklonio.

Da, sad proverih, zaista nije bilo potrebe za uvrštavanjem u prvu jednačinu. Proverio sam i s opštim vrednostima – i u opštem slučaju se dobije da je to jednačina traženog pravca.
Hvala na zapažanju.

kad je napisao:A meni se cini da sam u prethodnom postu napisao identicne jednacine samo sto je druga bila pomnozena sa [inlmath](-1)[/inlmath], ali sada vidim da je [inlmath]-[/inlmath] ispred drugog clana binoma u drugoj jednacini (treba da bude [inlmath]+[/inlmath]).

Napisao si tačno ovako kako sada stoji, ja sam samo dodao Latex, ali nisam ništa dirao pluseve i minuse. OK, dešavaju se greške u kucanju. Znači, hteo si da napišeš da si iz [inlmath]-36x_1-64y_1=-100[/inlmath] dobio [inlmath]36x_1+64y_1=100[/inlmath] (gde ovaj indeks [inlmath]_1[/inlmath] zapravo znači da se koordinate odnose na tačku [inlmath]A[/inlmath]) i to je OK.

Ja bih hteo da priložim jedno alternativno rešenje za ovaj zadatak, koje je (meni) bilo dosta lakše jer nisam bio oduševljen idejom da računam ovolike korene.
Dakle:

Daniel je napisao:Pošto tačka [inlmath]A[/inlmath] pripada elipsi:[dispmath]9x_A^2+16y_A^2=144\quad\left(1\right)[/dispmath]
Pošto i tačka [inlmath]B[/inlmath] pripada elipsi:[dispmath]9x_B^2+16y_B^2=144[/dispmath][dispmath]9\left(2-x_A\right)^2+16\left(2-y_A\right)^2=144\quad\left(2\right)[/dispmath]

Do ovog dela se apsolutno slažem sa Danielom, samo što bih odatle ja to ovako:
[dispmath]9x_A^2+16y_A^2=144\quad\left(1\right)\\
9x_B^2+16y_B^2=144\quad\left(2\right)[/dispmath] Odavde, oduzme se druga jednačina od prve:
[dispmath]9\left(x_A^2-x_B^2\right)+16\left(y_A^2-y_B^2\right)=0[/dispmath] Pošto je [inlmath]x_A^2-x_B^2=(x_A-x_B)(x_A+x_B)[/inlmath] i [inlmath]y_A^2-y_B^2=(y_A-y_B)(y_A+y_B)[/inlmath]

Iz ovog prethodnog što sam naglasio, sledi:
[dispmath]9(x_A-x_B)+16(y_A-y_B)=0\\
9x_A+16y_A=9x_A+16y_A[/dispmath] Pošto su strane jednake jedna sa drugom, znači da će [inlmath]9x_A+16y_A=c,\;c\in\mathbb{R}[/inlmath]

I jednostavnom zamenom tačke [inlmath]P(1,1)[/inlmath] u prethodno dobijamo [inlmath]c=25[/inlmath] odakle će uslediti i konačno rešenje
[dispmath]9x_A+16y_A=25\;\Longrightarrow\;\frac{x_A}{16}+\frac{y_A}{9}=\frac{25}{144}[/dispmath] Apelovao bih na svakoga ko ima volje da ako ovaj zadatak ne može ovako da se reši mi objasni i zašto, svakako mislim da je ovo dobro rešenje, pa rek'o čisto da imamo još jedno pored onog Danielovog. Pozdrav!

Da, odlično si se setio toga da razložiš razliku kvadrata i da iskoristiš [inlmath]x_A+x_B=2[/inlmath] i [inlmath]y_A+y_B=2[/inlmath]. Mada, nije mi najjasnije ovo što si nakon toga radio, kako si iz [inlmath]9(x_A-x_B)+16(y_A-y_B)=0[/inlmath] dobio [inlmath]9x_A+16y_A=9x_A+16y_A[/inlmath]... Možda si greškom stavio indekse [inlmath]A[/inlmath] umesto indeksa [inlmath]B[/inlmath], al' opet ne razumem ni ovo [inlmath]9x_A+16y_A=c[/inlmath]...

Ja bih to nastavio na ovaj način: pošto smo nakon razlaganja razlike kvadrata dobili [inlmath]9(x_A-x_B)+16(y_A-y_B)=0[/inlmath], odatle je [inlmath]\displaystyle\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=-\frac{9}{16}[/inlmath] a to je upravo koeficijent pravca prave koja sadrži tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], tj. koeficijent pravca tražene sečice. Prema tome, jednačina sečice je oblika [inlmath]\displaystyle y=-\frac{9}{16}x+n[/inlmath], a [inlmath]n[/inlmath] odredimo uvrštavanjem koordinata tačke [inlmath]P(1,1)[/inlmath] koja takođe pripada toj sečici, odakle se dobije [inlmath]\displaystyle n=\frac{25}{16}[/inlmath], što znači da je jednačina sečice [inlmath]\displaystyle y=-\frac{9}{16}x+\frac{25}{16}[/inlmath].

Da ne bude zabune – ne kažem ja da i tvoj postupak nije u redu, samo kažem da ga nisam razumeo pa da samim tim ne mogu ni da kažem da li je u redu ili ne. Ali, za razliku kvadrata si se zaista odlično dosetio.

Daniel je napisao:kako si iz [inlmath]9(x_A-x_B)+16(y_A-y_B)=0[/inlmath] dobio [inlmath]9x_A+16y_A=9x_A+16y_A[/inlmath]... Možda si greškom stavio indekse [inlmath]A[/inlmath] umesto indeksa [inlmath]B[/inlmath]

Da, tu sam pogrešio, treba da piše [inlmath]9x_A+16y_A=9x_B+16y_B[/inlmath], lapsus mali izvinjavam se na propustu.

Pa moja neka logika da pošto su strane bile jednake, da će tačke [inlmath](x_A,y_A)[/inlmath] i [inlmath](x_B,y_B)[/inlmath] pripadati pravoj [inlmath]9x+16y[/inlmath] i pošto i sama tačka [inlmath]P(1,1)[/inlmath] pripada toj pravoj, zameni se u [inlmath]9x+16y=c[/inlmath] i dobije [inlmath]c=25[/inlmath]. Da li je to u redu ili to nije sasvim tačno, nego se slučajno pogodilo? A za komentar taman posla, zato sam i rekao da ako nije ispravno da mi neko ukaže na to da ne bih grešio u budućnosti.

Aha, na to si mislio... Da, sasvim OK razmišljanje. Važi i u opštem slučaju, jer ako imamo dve prave zadate implicitnim oblikom, [inlmath]Ax+By+C_1=0[/inlmath] i [inlmath]Ax+By+C_2=0[/inlmath], one će zbog jednakog odnosa koeficijenata [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] biti paralelne, a poklapaće se ako je [inlmath]C_1=C_2\;(=C)[/inlmath]. Pošto su [inlmath]x_A[/inlmath] i [inlmath]x_B[/inlmath] konstante, [inlmath]9x_A+16y_A[/inlmath] je svakako konstanta, isto tako i [inlmath]9x_B+16y_B[/inlmath]. Zbog znaka jednakosti, to je zapravo jedna ista konstanta, tj. u pitanju je jedna prava koja sadrži dve tačke s tim koordinatama.

Eto, možda nisam ni ja ovo svojim rečima opisao baš najspretnije, al' može se raditi na taj način, iako nije baš školski. Štaviše, uvek mi je drago kad vidim i postupke koji nisu onakvi kakvi se traže po školama/fakultetima, po nekom šablonu.