MATEMANIJA

U elipsu:
[dispmath]x^2+2y^2=36[/dispmath]
upiši jednakokraki trougao čija osnovica leži na pravoj:
[dispmath]x+y-6=0[/dispmath]
Naći ostale vrhove trougla.
Sistemom od dve jednačine sa dve nepoznate sam dobio da vrhovi [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] imaju koordinate [inlmath]A(6,0)[/inlmath] i [inlmath]B(2,4)[/inlmath]. U rešenju piše da se treći vrh (vrh [inlmath]C[/inlmath]) nalazi na preseku elipse i simetrale duži [inlmath]AB[/inlmath]. Takođe piše da je simetrala duži [inlmath]AB[/inlmath] jednaka:
[dispmath]x-y-2=0[/dispmath]
Da li bi neko mogao da mi objasni kako se računaju simetrale duži?

Znaci, imas tacke [inlmath]A(6,0)[/inlmath] i [inlmath]B(2,4)[/inlmath], koje cine osnovicu trougla i neku tacku [inlmath]C(x,y)[/inlmath] koja je vrh trougla. Posto je trougao jednakokraki, rastojanja [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] moraju biti ista.

Iz te jednakosti, dakle [inlmath]d(AC)=d(BC)[/inlmath], dobices jednacinu prave koja je simetrala osnovice trougla, a ona je, kao sto si i napisao, [inlmath]x-y-2=0[/inlmath]. I nakon toga nadjes koordinate temena [inlmath]C[/inlmath].

Treba obratiti paznju i na to da ce se teme [inlmath]C[/inlmath] nalaziti u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu (sto podrazumeva negativne koordinate tacke).

@MilosNinkovic99, dobro došao na forum.

Ilija je napisao:Treba obratiti paznju i na to da ce se teme [inlmath]C[/inlmath] nalaziti u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu (sto podrazumeva negativne koordinate tacke).

Nigde u tekstu zadatka nije zadat uslov da teme [inlmath]C[/inlmath] mora da se nalazi u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu. Može se nalaziti i u [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu. Evo i ilustracije:


Na slici su sa [inlmath]C_1[/inlmath] i [inlmath]C_2[/inlmath] označene tačke koje predstavljaju dva moguća rešenja za treće teme jednakokrakog trougla, a žutom i plavom površi su predstavljena ta dva moguća upisana jednakokraka trougla.

---

Pokazao bih još jedan način nalaženja simetrale (pored Ilijinog, koji je sasvim u redu).
Simetrala duži [inlmath]\overline{AB}[/inlmath], to je jasno, mora prolaziti kroz središte te duži (na prethodnoj slici to središte duži je presek plave i zelene prave). Koordinate središta duži predstavljaju aritmetičke sredine koordinata krajnjih tačaka duži. Krajnje tačke duži su [inlmath]A\left(6,0\right)[/inlmath] i [inlmath]B\left(2,4\right)[/inlmath]. Koordinate središta duži će, prema tome, biti [inlmath]\displaystyle\left(\frac{6+2}{2},\frac{0+4}{2}\right)[/inlmath], to jest [inlmath]\left(4,2\right)[/inlmath].
Takođe, simetrala neke duži je upravna na tu duž. Prema tome, postavljamo i uslov normalnosti, koji će nam, u kombinaciji s uslovom da simetrala prolazi kroz tačku [inlmath]\left(4,2\right)[/inlmath], dati jednačinu te simetrale.
Za pravu koja je data jednačinom u implicitnom obliku, [inlmath]ax+by+c=0[/inlmath], jednačina prave koja je normalna na nju biće oblika [inlmath]bx-ay+d=0[/inlmath].
To znači da će jednačina prave koja je normalna na pravu [inlmath]x+y-6=0[/inlmath] biti [inlmath]x-y+d=0[/inlmath]. Znamo, dakle, da jednačina simetrale mora biti tog oblika.
Sada, uvrštavanjem koordinata tačke koju simetrala sadrži, a to je središte duži [inlmath]\overline{AB}[/inlmath], čije su koordinate [inlmath]x=4[/inlmath] i [inlmath]y=2[/inlmath], dobijamo:
[dispmath]4-2+d=0\quad\Rightarrow\quad d=-2[/dispmath]
Prema tome, jednačina tražene simetrale je [inlmath]x-y-2=0[/inlmath], isto kao i kad radimo na prethodno pokazan način.

Uspio sam da rešim zadatak zbog vaše pomoći. Mnogo hvala obojici. Uopšte nisam očekivao ovako brze i detaljne odgovore. Forum je odličan, sve pohvale.

Daniel je napisao:Nigde u tekstu zadatka nije zadat uslov da teme [inlmath]C[/inlmath] mora da se nalazi u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu. Može se nalaziti i u [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu.

Da...ovo je veoma zanimljiv propust koji sam napravio (meni zanimljiv).
Moracu da povedem racuna o ovakvim sitnicama koje zivot i poene na prijemnom znace.
Povuklo me da ce teme ici samo na levo, pa automatski odbacih drugo resenje (za [inlmath]I[/inlmath] kvadrant).

I da ovaj nacin za nalazenje simetrale, koji je @Daniel pokazao, je svakako za nijansu brzi i elegantniji, i svakako sa manje racuna.

Dobrodislica i od mene...ne napisah malopre.