MATEMANIJA

Pozdrav,

Radeći zadatke za maturski rad, stigao sam do oblasti " Analitičke geometrije " sa kojom nisam baš najbolji a da stvar bude gora, negdje sam zagubio svesku iz tog razreda kada su se radili takvi zadaci iz navedene oblasti tako da bas nemam ideja kako da počnem sa radom. Bio bi vam puno zahvalan ako bi na jednom primjeru mogli da mi objasnite princip izrade ovakvih zadataka tako da bih ostale sam mogao da odradim.

Jedan od zadataka glasi :

1) Odredi ugao između prave [inlmath]7x-3y-29=0[/inlmath] i krive [inlmath]x^2+y^2=29[/inlmath]


Unaprijed HVALA !

Nadjes presecne tacke date prave i kruznice, pa ce uglovi biti u stvari uglovi izmedju tangenti na kruznicu u datim tackama i date prave. Presecne tacke bice [inlmath](2,-5)[/inlmath] i [inlmath]B(5,2)[/inlmath].

Ako nije problem, mozes li mi poslati formulu po kojoj si nasao presjecne tacke prave i kruznice i sta se radi nakon sto to nadjemo.
Izvini ako te smaram, ali stvarno ovaj dio matematike nije mi jedan od drazih. ;D

Nema tu konkretne formule, izrazis [inlmath]y[/inlmath] iz jednacine prave, sto bi u ovom slucaju bilo [inlmath]y=\frac{7x-29}{3}[/inlmath] , kada si izrazio [inlmath]y[/inlmath] zamenis ga u jednacinu krive tj. [inlmath]x^2+\left(\frac{7x-29}{3}\right)^2=29[/inlmath]. Nakon sto izracunas kvadratnu dobices koordinate [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] koje ces zameniti u pocetnu jednacinu prave, i odatle dobijas [inlmath]y_1[/inlmath] i [inlmath]y_2[/inlmath] tj. tacke [inlmath]M\left(x_1,y_1\right)[/inlmath] i [inlmath]N\left(x_2,y_2\right)[/inlmath]

Presecne tacke nadjes tako sto jednacinu prave i jednacinu kruznice posmatras kao sistem dve jednacine sa dve nepoznate. Npr. izrazis promenljivu [inlmath]y[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath] iz jednacne prave i samo je zamenis u jednacinu kruznice, nakon cega ces dobiti kvadratnu po [inlmath]y[/inlmath]. Nakon toga odredis tangente u tim tackama, a ugao izmedju dve prave oblika [inlmath]y=kx+n[/inlmath], racunas po formuli:
[dispmath]\text{tg }\varphi=\frac{|k_2-k_1|}{1+k_1k_2}[/dispmath]

Ovaj dio za dobivanje ovih dviju tacaka ( [inlmath]M,N[/inlmath] ) sam skuzio. Znaci nakon toga preko koje formule nadjemo tangente u navedenim tackama?

Preko jednacine tangente za kruznicu u nekoj tacki:
[dispmath](x-p)(x_0-p)+(y-q)(y_0-q)=r^2[/dispmath]

Pored gore navedene formule, prilozio bih jos dva nacina.

Prvi, preko uslova dodira prave i kruznice. Ako je tangenta oblika [inlmath]y=kx+n[/inlmath], zamenimo koordinate [inlmath]x_0[/inlmath]i [inlmath]y_0[/inlmath] iz tacke preseka, izrazimo koliko je [inlmath]n[/inlmath] i stavimo u formulu za uslov dodira [inlmath]r^2\left(1+k^2\right)=n^2[/inlmath] (posto se radi o kruznici sa centrom u koordinatnom pocetku, koristimo ovaj kraci obrazac - mada, ne mora, isto je). Dakle, za prvu tacku [inlmath]A(2,-5)[/inlmath], to ce biti:
[dispmath]y=kx+n\\
-5=2k+n\\
n=-5-2k[/dispmath]
I sada to zamenimo u obrazac za uslov dodira:
[dispmath]r^2\left(1+k^2\right)=n^2\\
29\left(1+k^2\right)=(-5-2k)^2\\
25k^2-20k+4=0\\
k=\frac{2}{5}[/dispmath]
Za racunanje ugla nam treba samo nagib, pa i nema potrebe da se radi dalje (tj. da se odredjuje jednacina tangente).

---

Drugi nacin. Ako mamo kruznicu oblika [inlmath](x-p)^2+(y-q)^2=r^2[/inlmath] i neku tacku [inlmath]M(x_0,y_0)[/inlmath] u kojoj racunamo tangentu, tj. kroz koju tangenta prolazi, iliti u kojoj dodiruje kruznicu. Poluprecnik do tacke [inlmath]M(x_0,y_0)[/inlmath] bice normalan na tangentu, pa ce nagib tangente biti jednak negativnoj reciprocnoj vrednosti nagiba poluprecnika, iliti:
[dispmath]k_t=-\frac{1}{k_r}[/dispmath]
Ta "prava poluprecnika" da je ja tako nazovem bice odredjena tackama centra [inlmath]C(p,q)[/inlmath] i preseka [inlmath]M(x_0,y_0)[/inlmath], pa ce njen nagib biti:
[dispmath]k_r=\frac{q-y_0}{p-x_0}[/dispmath]
a nagib tangente, kao sto sam vec rekao. Centar kruznice je ovde [inlmath]C(0,0)[/inlmath], a druga tacka bice neka od dve tacke preseka.

Još jedan način:

Jednačinu kružnice [inlmath]x^2+y^2=29[/inlmath] možemo napisati u eksplicitnom obliku, [inlmath]y=\pm\sqrt{29-x^2}[/inlmath], u kojem plus ispred korena predstavlja gornju polovinu kružnice (iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose), dok minus ispred korena predstavlja donju polovinu kružnice (ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose).

Neka su [inlmath]\left(x_0,y_0\right)[/inlmath] koordinate neke tačke na kružnici. Tada će izvod funkcije [inlmath]y=\pm\sqrt{29-x^2}[/inlmath] u [inlmath]x_0[/inlmath] predstavljati nagib tangente u toj tački.

Dakle, za donju polovinu kružnice izvod je
[dispmath]y'=\left(-\sqrt{29-x^2}\right)'=-\frac{-\cancel2x}{\cancel2\sqrt{29-x^2}}=\frac{x}{\sqrt{29-x^2}}[/dispmath]
Pošto se jedna od dve presečne tačke, [inlmath]\left(2,-5\right)[/inlmath], nalazi na donjoj polovini kružnice ([inlmath]y[/inlmath]-koordinata joj je negativna), uvrštavamo njenu [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu u prethodni izraz i dobijemo [inlmath]y'=\frac{2}{5}[/inlmath]. To je ujedno i koeficijent pravca tangente u tački [inlmath]\left(2,-5\right)[/inlmath].

Za gornju polovinu kružnice izvod je
[dispmath]y'=\left(\sqrt{29-x^2}\right)'=\frac{-\cancel2x}{\cancel2\sqrt{29-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{29-x^2}}[/dispmath]
Pošto se druga od dve presečne tačke, [inlmath]\left(5,2\right)[/inlmath], nalazi na gornjoj polovini kružnice ([inlmath]y[/inlmath]-koordinata joj je pozitivna), uvrštavamo njenu [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu u prethodni izraz i dobijemo [inlmath]y'=-\frac{5}{2}[/inlmath]. To je ujedno i koeficijent pravca tangente u tački [inlmath]\left(5,2\right)[/inlmath].

---

Ipak, od svih ovih načina, moj „favorit“ je

Ilija je napisao:Ako mamo kruznicu oblika [inlmath](x-p)^2+(y-q)^2=r^2[/inlmath] i neku tacku [inlmath]M(x_0,y_0)[/inlmath] u kojoj racunamo tangentu, tj. kroz koju tangenta prolazi, iliti u kojoj dodiruje kruznicu. Poluprecnik do tacke [inlmath]M(x_0,y_0)[/inlmath] bice normalan na tangentu, pa ce nagib tangente biti jednak negativnoj reciprocnoj vrednosti nagiba poluprecnika

Pozdrav,
pokusavao sam da uradim ovaj zadatak nekoliko puta, ali nikako ne mogu da dobijem tacke koje ste vi dobili, dobijam uvijek neke nenormalno visoke brojeve ako moze neko da uploaduje sliku procesa ako nije problem...

Bolje bi bilo da ti pokazes svoj postupak, pa da se pogleda gde pravis (ako ih pravis) greske. To ce biti dosta konstruktivnije po tebe, nego li da dobijes odmah celo resenje.