MATEMANIJA

Zadatak glasi: Jednacina elipse koja dodiruje pravu [inlmath]5x+12y+75=0[/inlmath] u tacki [inlmath]P(x,-4)[/inlmath] glasi:

Posto je ova prava tangenta kruznice mozemo iskoristiti [inlmath]y=kx+n[/inlmath], gde je [inlmath]\displaystyle k=-\frac{5}{12}[/inlmath], a [inlmath]\displaystyle n=-\frac{75}{12}[/inlmath].

Sad koristimo uslov dodira [inlmath]a^2k^2+b^2=n^2[/inlmath], i zamenim [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] pri cemu sve bude: [inlmath]\displaystyle a^2\cdot\frac{25}{144}+b^2=\frac{5625}{144}\quad(1)[/inlmath]

Onda zamenim [inlmath]-4[/inlmath] u jednacinu prave da dobijemo [inlmath]x[/inlmath] deo koordinate tacke [inlmath]P[/inlmath], i to bude [inlmath]\displaystyle-\frac{27}{5}[/inlmath].

Zamenim [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u jednacinu elipse, i pomnozim sa [inlmath]a^2b^2[/inlmath]...
[inlmath]\displaystyle\frac{729}{25}+16=a^2b^2\quad(2)[/inlmath]

I sad imamo sistem od [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath], ali izdvajanjem [inlmath]a^2[/inlmath] iz druge jednacine i zamenom u 1. dobijem
[inlmath]1129+144b^4-5625b^2=0[/inlmath] i smena [inlmath]b^2=t[/inlmath] sa uslovom vece od [inlmath]0[/inlmath].

Tu sam se zaglavio. Ne mogu da dobijem dobro resenje za [inlmath]b[/inlmath] jer determinanta nije pravi koren. Posto je ovo zadatak sa maturskog ispita od prosle godine, ne znam resenje. Pomoc bi mi dobro dosla, verovatno sam nesto pogresio.

Tebi je prva jednacina dobra, ali druga nije. Na levoj strani jednakosti fale ti nepoznate [inlmath]a^2[/inlmath] kod [inlmath]16[/inlmath] i [inlmath]b^2[/inlmath] kod [inlmath]\frac{729}{25}[/inlmath].

Za prvu jednacinu dobijas:
[dispmath]25a^2+144b^2=5625[/dispmath]
a za drugu trebalo bi da dobijes:
[dispmath]\frac{729b^2}{25}+16a^2=a^2b^2[/dispmath]
a kada to podelimo sa [inlmath]a^2b^2[/inlmath], dobije se:
[dispmath]\frac{729}{25a^2}+\frac{16}{b^2}=1[/dispmath]
Sada iz prve jednacine mozes izraziti da ti je [inlmath]25a^2=5625-144b^2[/inlmath], i zameniti u drugoj, pa ces nakon zamene dobiti bikvadratnu jednacinu:
[dispmath]144b^4-7200b^2+90000=0[/dispmath]
odnosno ako se to podeli sa [inlmath]144[/inlmath]:
[dispmath]b^4-50b^2+625=0[/dispmath]
Ovo je kvadrat binoma [inlmath]\left(b^2-25\right)^2[/inlmath], pa odatle lako dobijas da je [inlmath]b^2=25[/inlmath], iz cega sledi da je [inlmath]a^2=81[/inlmath], pa ce jednacina elipse biti:
[dispmath]25x^2+81y^2=2025[/dispmath]

Hvala Ilija! Ne mogu da verujem na cemu sam pogresio, a dobro postavim zadatak, samo mi tako nesto treba na maturskom ispitu...

Sve OK, samo bih predložio malo pojednostavljenje u ovom koraku,

Ilija je napisao:[dispmath]\frac{729}{25a^2}+\frac{16}{b^2}=1[/dispmath]
Sada iz prve jednacine mozes izraziti da ti je [inlmath]25a^2=5625-144b^2[/inlmath], i zameniti u drugoj, pa ces nakon zamene dobiti bikvadratnu jednacinu:
[dispmath]144b^4-7200b^2+90000=0[/dispmath]

Kako bismo izbegli ovako velike brojeve (i, samim tim, veću šansu da pogrešimo u računu), u jednačini [inlmath]25a^2=5625-144b^2[/inlmath] možemo uočiti da su i [inlmath]5625[/inlmath] i [inlmath]144[/inlmath] deljivi sa [inlmath]9[/inlmath], pa to onda pišemo kao [inlmath]25a^2=9\left(625-16b^2\right)[/inlmath].
Takođe, u jednačini [inlmath]\frac{729}{25a^2}+\frac{16}{b^2}=1[/inlmath] možemo uočiti da je i [inlmath]729[/inlmath] deljiv sa [inlmath]9[/inlmath], pa ga pišemo kao [inlmath]9\cdot81[/inlmath].
I onda, nakon uvrštavanja [inlmath]25a^2=9\left(625-16b^2\right)[/inlmath] u jednačinu [inlmath]\frac{9\cdot81}{25a^2}+\frac{16}{b^2}=1[/inlmath], imamo:
[dispmath]\left.\frac{\cancel9\cdot81}{\cancel9\left(625-16b^2\right)}+\frac{16}{b^2}=1\quad\right/\cdot b^2\left(625-16b^2\right)\\
81b^2+16\cdot625-16\cdot16b^2=625b^2-16b^4[/dispmath]
(dakle, ništa još uvek ne množiti, već ostaviti ovako u obliku proizvoda)
[dispmath]16b^4\underbrace{+81b^2-625b^2}_{-544b^2=-16\cdot34b^2}-16\cdot16b^2+16\cdot625=0\\
16b^4-16\cdot34b^2-16\cdot16b^2+16\cdot625=0[/dispmath]
Ovime smo dobili da su svi koeficijenti u ovoj jednačini deljivi sa [inlmath]16[/inlmath] pa možemo celu jednačinu podeliti sa [inlmath]16[/inlmath] (zbog toga nije trebalo u prethodnim koracima izvršiti ona množenja):
[dispmath]b^4-34b^2-16b^2+625=0\\
b^4-50b^2+625=0[/dispmath]