MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 7. jul 2014.
12. zadatak

Krug sadrzi tri tacke cije su koordinate [inlmath](0,6)[/inlmath], [inlmath](0,10)[/inlmath], [inlmath](8,0)[/inlmath]. Apscisa druge tacke u kojoj dati krug sece [inlmath]x[/inlmath] osu jednaka je:?
Rezultat: [inlmath]7,5[/inlmath]

Sta je uopste apscisa (jel se misli na [inlmath]x[/inlmath] koordinatu te tacke?)...

Definicija iz Vujaklije (ne Vukajlije, nego baš Vujaklije):

Vujaklija je napisao:apscisa (lat. abscissa tj. linea, abscindere otrgnuti, odvojiti, odseći) geom. u (Dekartovom) koordinatnom sistemu: merni broj ([inlmath]+[/inlmath] ili [inlmath]-[/inlmath]) odstojanja ma koje tačke u ravni do ordinate osovine; apscisna linija prava linija koja je uzeta radi određivanja položaja neke tačke ili osobine jedne krive; apscisna osovina prava koja obično zauzima horizontalan položaj.

Na osnovu ove definicije (u čiju verodostojnost ne bi trebalo sumnjati), za [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu neke tačke je zaista pravilno reći apscisa.
Hm, zanimljivo, ja sam dosad izraz apscisa upotrebljavao za [inlmath]x[/inlmath]-osu Dekartovog sistema, a sad vidim da je u tom značenju, umesto apscisa, pravilno reći apscisna linija. Eto, naučih sad nešto novo.

---

I, kad već spomenuh i Vukajliju, da ne ostane i bez njene definicije,

Vukajlija je napisao:apscisa Horizontala u svim svojim pojavnim oblicima. Izraz je autohtono vezan za matematičare i njima srodne duše, zatočene u izolovanom koordinatnom sistemu.

Naravno da ovaj drugi deo poslednje rečenice nije tačan, u šta se može uveriti svako ko upozna Matemanijake.

Hvala na pojasnjenju za znacenje. Kada izracunamo dobijemo da je jednacina kruga [inlmath]\left(x-\frac{31}{4}\right)^2+(y-8)^2=\frac{977}{16}[/inlmath]

Sada apscisa "druge" tacke u kojoj dati krug sece [inlmath]x[/inlmath] osu. Koja je to druga tacka (Jel se tu misli na [inlmath]x[/inlmath] koordinatu tacke [inlmath](0,10)[/inlmath] (posto je to druga tacka), ali tu su nam poznate koordinate)?

Kruznica ce seci obe ose u po dve tacke. I ti treba da odredis drugu tacku u kojoj kruznica sece [inlmath]x[/inlmath]-osu. Dakle neku tacku oblika [inlmath](x,0)[/inlmath].

Hvala, ispravka dobije se [inlmath]\left(x-\frac{31}{4}\right)^2+(y-8)^2=\frac{1025}{16}[/inlmath]

Kako uopste izgleda ovaj krug?

Dakle krug sadrzi tacku [inlmath](x,0)[/inlmath]. Zamenis u jednacinu kruznice ove koordinate i dobices vrednosti [inlmath]x=8[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{15}{2}[/inlmath]. Prva vrednost [inlmath]x=8[/inlmath] vec je sadrzana gore u jednoj tacki, te je resenje koje tebi treba [inlmath]x=\frac{15}{2}=7,5[/inlmath], odnosno tacka [inlmath](7,5;0)[/inlmath].

Shvatam ja to, izracunao sam nego kada pokusas da skiciras takav krug ne ispadne bas krug. Zato pitam kako bi izgledao isti...

Kao što je Ilija rekao, krug seče [inlmath]O_x[/inlmath] u tačkama [inlmath]N(\frac{15}{2},0) \land M(8,0)[/inlmath]

kad je napisao:Kako uopste izgleda ovaj krug?

Kako izgleda krug?

Verovatno si hteo da pitaš kako je taj krug pozicioniran u koordinatnom sistemu. Trebalo bi da znaš da u jednačini kružnice opšteg oblika [inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath] parametri [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] predstavljaju, redom, [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu centra kružnice, dok [inlmath]R[/inlmath] predstavlja njen poluprečnik.
To znači, pošto si dobio jednačinu kružnice [inlmath]\left(x-\frac{31}{4}\right)^2+(y-8)^2=\frac{1025}{16}[/inlmath], to će centar kružnice imati koordinate [inlmath]\left(\frac{31}{4},8\right)[/inlmath], a njen poluprečnik će biti [inlmath]\sqrt{\frac{1025}{16}}=\frac{1}{4}\sqrt{1025}=\frac{1}{4}\sqrt{25\cdot41}=\frac{5}{4}\sqrt{41}[/inlmath].
S ovim podacima ne bi trebalo da bude problem skicirati kružnicu u koordinatnom sistemu.

---

Pokazao bih i drugi način određivanja druge tačke preseka kružnice s [inlmath]x[/inlmath]-osom (naglašavam kružnice, jer bi presek kruga (koji predstavlja površ a ne krivu) s [inlmath]x[/inlmath]-osom predstavljao duž, a ne tačku).

[inlmath]x[/inlmath]-koordinata centra kružnice predstavlja aritmetičku sredinu [inlmath]x[/inlmath]-koordinata presečnih tačaka kružnice s [inlmath]x[/inlmath]-osom.
Pošto imamo jednačinu kružnice, imamo i [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu njenog centra, to je [inlmath]p=\frac{31}{4}[/inlmath].
Imamo i [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu jedne presečne tačke kružnice i [inlmath]x[/inlmath]-ose, to je [inlmath]x_1=8[/inlmath].
Prema tome,
[dispmath]p=\frac{x_1+x_2}{2}\\
\frac{31}{4}=\frac{8+x_2}{2}\\
\Rightarrow\quad x_2=\frac{15}{2}[/dispmath]

Shvatam kako se skicira nego kada bih skicirao vise bi mi izgledalo ko elipsa upravo zbog minimalnog preseka.

Dobro, cenim da nisi dobro formulisao pitanje kada si napisao:„Kako uopste izgleda ovaj krug“. Mada to što je po tebi skica ličila na elipsu može se opravdati činjenicom da je krug zapravo specifičan slučaj elipse kada je [inlmath]a=b[/inlmath]