MATEMANIJA

Odrediti jednačinu ravni koja prolazi tačkom [inlmath]T(0,-1,0)[/inlmath] i sadrži pravu [inlmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}[/inlmath].

Opšti oblik jednačine ravni je[dispmath]Ax+By+Cz+D=0[/dispmath]u kojem [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] predstavljaju komponente vektora normale na tu ravan.

Princip rešavanja je taj, da odredimo vektor normale tražene ravni, pri čemu ćemo dobiti koeficijente [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], nakon čega koeficijent [inlmath]D[/inlmath] odredimo tako što u dobijenu jednačinu ravni umesto [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] uvrstimo koordinate zadate tačke koja pripada toj ravni i dobijemo jednačinu iz koje izračunamo [inlmath]D[/inlmath].

Kako određujemo vektor normale ove ravni? Pošto znamo da je on normalan na bilo koja dva vektora koja pripadaju toj ravni, određujemo ga kao njihov vektorski proizvod. Jedan vektor tražene ravni već imamo, njega direktno očitamo iz date jednačine prave[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}[/dispmath]a drugi odredimo na osnovu koordinata dve tačke koje pripadaju toj ravni. Koordinate jedne od tačaka te ravni su nam već zadate, [inlmath]T\left(0,-1,0\right)[/inlmath], a drugu odredimo opet iz jednačine prave[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}[/dispmath]

Da podestim, u kanonskom obliku jednačine prave koji, u opštem slučaju, glasi[dispmath]\frac{x-x_0}{p_x}=\frac{y-y_0}{p_y}=\frac{z-z_0}{p_z}[/dispmath][inlmath]\left(x_0,y_0,z_0\right)[/inlmath] je neka tačka koja pripada toj pravoj, a [inlmath]\left<p_x,p_y,p_z\right>[/inlmath] je vektor pravca te prave.


Rezultat koji treba da se dobije je[dispmath]4x-5y-z-5=0[/dispmath](ili bilo koja jednačina koja se dobija množenjem gornje jendačine nekom konstantom)

Kako određujemo vektor normale ove ravni? Pošto znamo da je on normalan na bilo koja dva vektora koja pripadaju toj ravni, određujemo ga kao njihov vektorski proizvod. Jedan vektor tražene ravni već imamo, njega direktno očitamo iz date jednačine prave[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}[/dispmath]a drugi odredimo na osnovu koordinata dve tačke koje pripadaju toj ravni. Koordinate jedne od tačaka te ravni su nam već zadate, [inlmath]T\left(0,-1,0\right)[/inlmath], a drugu odredimo opet iz jednačine prave[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}[/dispmath]

Moze primjer kako se ovo radi ://

Primer: neka je zadata jednačina neke prave u kanonskom obliku:[dispmath]\frac{x+8}{2}=\frac{y-5}{0}=\frac{z}{-4}[/dispmath]Iz te jednačine očitavamo koordinatu tačke koja pripada toj pravoj, [inlmath]\left(-8,5,0\right)[/inlmath], kao i komponente vektora pravca te prave, [inlmath]\left<2,0,-4\right>[/inlmath].

Ne znam odkud da pocnem, sva sam sad zbunjena ://, znam ja da si ti to pojasnio, ali stvarno ne znam, jedino sta vidim je formule hahaha

Drugi način:

Iz date jednačine prave[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}[/dispmath]možemo dve promenljive izraziti preko treće, u ovom slučaju je najpogodnije [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] izraziti preko [inlmath]y[/inlmath]. Zatim [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath], tako izražene preko [inlmath]y[/inlmath], uvrstimo u jednačinu ravni[dispmath]Ax+By+Cz+D=0[/dispmath]i dobićemo jednačinu u kojoj figuriše samo promenljiva [inlmath]y[/inlmath]. Grupišemo sabirke koji sadrže [inlmath]y[/inlmath] i sabirke koji ga ne sadrže. Zbir sabiraka koji sadrže [inlmath]y[/inlmath] mora biti jednak nuli, isto tako mora biti jednak nuli i zbir sabiraka koji ne sadrže [inlmath]y[/inlmath]. Time dobijamo sistem od dve jednačine s četiri nepoznate – [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]. Treću jednačinu sistema ćemo dobiti tako što koordinate zadate tačke koja treba da pripada toj ravni [inlmath]\left(0,-1,0\right)[/inlmath] uvrstimo u jednačinu te ravni. Pošto imamo sistem od tri jednačine s četiri nepoznate, ne možemo rešiti ovaj sistem, ali možemo tri nepoznate – [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] – izraziti preko četvrte, tj. preko [inlmath]D[/inlmath].

Dobije se [inlmath]A=-\frac{4}{5}D[/inlmath], [inlmath]B=D[/inlmath], [inlmath]C=\frac{D}{5}[/inlmath]. Za [inlmath]D[/inlmath] možemo uzeti bilo koju vrednost, jer bi to, zapravo, značilo množenje jednačine ravni nekom konstantom, pri čemu se sama ravan koju ta jednačina opisuje, ne menja. Ovde je očigledno najpogodnije da uzmemo da je [inlmath]D=-5[/inlmath], pa ćemo za jednačinu ravni dobiti [inlmath]4x-5y-z-5=0[/inlmath], isto kao i pri rešavanju na prethodni način.

Imaš sada detaljne instrukcije i za jedan i za drugi način rešavanja. Kreni po tim uputstvima, uvrsti konkretne vrednosti, ako bude nekih problema, napiši ovde postupak dokle si stigla i uputićemo te šta i kako dalje.

Radit cu ja po ovom prvom nacinu..nego ne znam kako naci vektor normale i ove koeficijente [inlmath]A,B,C[/inlmath].. haj [inlmath]D[/inlmath] je onda lako

Napisao sam kako se određuje vektor normale te ravni, verovatno ti je promaklo:

Daniel je napisao:Kako određujemo vektor normale ove ravni? Pošto znamo da je on normalan na bilo koja dva vektora koja pripadaju toj ravni, određujemo ga kao njihov vektorski proizvod. Jedan vektor tražene ravni već imamo, njega direktno očitamo iz date jednačine prave[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}[/dispmath]a drugi odredimo na osnovu koordinata dve tačke koje pripadaju toj ravni. Koordinate jedne od tačaka te ravni su nam već zadate, [inlmath]T\left(0,-1,0\right)[/inlmath], a drugu odredimo opet iz jednačine prave[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}[/dispmath]

A kad si odredila vektor normale, onda automatski imaš i [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] – to su njegove komponente.

Pošto znamo da je on normalan na bilo koja dva vektora koja pripadaju toj ravni, određujemo ga kao njihov vektorski proizvod. Jedan vektor tražene ravni već imamo, njega direktno očitamo iz date jednačine prave

Hmm ok je sve, samo ovo zeza..cega vektorski proizvod, sta da uvrstim,pa da racunam vektorski proizvod, i kako ocitati vektor iz jednacine prave, mislis vektor smjera??

indira-aa je napisao:cega vektorski proizvod, sta da uvrstim,pa da racunam vektorski proizvod

Dakle, još jednom, ovaj put s podebljanim rečima na koje treba da obratiš pažnju:

Daniel je napisao:Kako određujemo vektor normale ove ravni? Pošto znamo da je on normalan na bilo koja dva vektora koja pripadaju toj ravni, određujemo ga kao njihov vektorski proizvod.

Pa onda dalje kaže:

Daniel je napisao:Jedan vektor tražene ravni već imamo, njega direktno očitamo iz date jednačine prave[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}[/dispmath]

i posle toga još kaže

Daniel je napisao:a drugi odredimo na osnovu koordinata dve tačke koje pripadaju toj ravni.

pa sam zatim u produžetku objasnio i koje su to dve tačke...
Stvarno više ne vidim šta tu može da ne bude jasno.

indira-aa je napisao:i kako ocitati vektor iz jednacine prave, mislis vektor smjera??

Da, vektor smera (ili, pravilnije rečeno, vektor pravca) te prave koja pripada ravni, jer onda i taj vektor pravca pripada toj ravni.

Jedan vektor tražene ravni već imamo, njega direktno očitamo iz date jednačine prave

To je onda [inlmath](2,1,3)[/inlmath]

a drugi odredimo na osnovu koordinata dve tačke koje pripadaju toj ravni. Koordinate jedne od tačaka te ravni su nam već zadate, [inlmath]T\left(0,-1,0\right)[/inlmath], a drugu odredimo opet iz jednačine prave[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}[/dispmath]

Eh jos ovo nisam sigurna oko ove koordinate druge tacke te ravni, da li su to [inlmath](1,0,-1)[/inlmath]? :/ ili kako

indira-aa je napisao:To je onda [inlmath](2,1,3)[/inlmath]

s tim da komponente vektora pišeš unutar izlomljenih zagrada, za razliku od koordinata tačaka koje pišeš u oblim zagradama.
Dakle, [inlmath]\left<2,1,3\right>[/inlmath].

indira-aa je napisao:Eh jos ovo nisam sigurna oko ove koordinate druge tacke te ravni, da li su to [inlmath](1,0,-1)[/inlmath]? :/ ili kako

Evoo mojih rezultata:

znaci imam vektor normale iscitan iz jednacine prave [inlmath](2,1,3)[/inlmath].. koordinate jedne tacke su [inlmath]T(0,-1,0)[/inlmath], a iz jednačine ravni drugu tačku imamo a to je [inlmath](1,0,-1)[/inlmath]-...pa mi je onda drugi vektor normale npr m[inlmath](1,1,-1)[/inlmath] sad uradim vektorski proizvod 2 vektora normale.. i dobijem [inlmath]-4i+5j+k[/inlmath], tj. [inlmath](-4,5,1)[/inlmath], gdje je [inlmath]-4=A,\;5=B,\;1=C[/inlmath].. I uvrstim to u jednačinu dobijem [inlmath]-4x+5y+z+D=0[/inlmath]..IZ TOGA SLIJEDI DA JE [inlmath]D=5[/inlmath]..

I uvrstim to u opsti oblik jednacine rani:
i dobijem [dispmath]4x-5y-z-5=0[/dispmath]

indira-aa je napisao:znaci imam vektor normale iscitan iz jednacine prave [inlmath](2,1,3)[/inlmath]..

Nije to vektor normale, već vektor pravca (ili, kako vi kažete, vektor smera) prave čija nam je jednačina zadata.

indira-aa je napisao:koordinate jedne tacke su [inlmath]T(0,-1,0)[/inlmath], a iz jednačine ravni drugu tačku imamo a to je [inlmath](1,0,-1)[/inlmath]

Ne iz jednačine ravni, već iz jednačine prave.

indira-aa je napisao:-...pa mi je onda drugi vektor normale npr m[inlmath](1,1,-1)[/inlmath]

Opet, nije to vektor normale, već neki vektor koji pripada traženoj ravni.

indira-aa je napisao:sad uradim vektorski proizvod 2 vektora normale..

Isto...

indira-aa je napisao:i dobijem [inlmath]-4i+5j+k[/inlmath], tj. [inlmath](-4,5,1)[/inlmath], gdje je [inlmath]-4=A,\;5=B,\;1=C[/inlmath].. I uvrstim to u jednačinu dobijem [inlmath]-4x+5y+z+D=0[/inlmath]..

indira-aa je napisao:IZ TOGA SLIJEDI DA JE [inlmath]D=5[/inlmath]

Iz čega sledi da je [inlmath]D=5[/inlmath]?

indira-aa je napisao:I uvrstim to u opsti oblik jednacine rani:
i dobijem [dispmath]4x-5y-z-5=0[/dispmath]

Da, pošto si prethodno odredila vrednost za [inlmath]D[/inlmath], ali ti ovde nedostaje taj deo postupka kojim se određuje [inlmath]D[/inlmath].

I ne zaboravi da vektore, kad ih pišeš kao skup njihovih komponenata, pišeš u izlomljenim, a ne u oblim zagradama. Znači, ne [inlmath]\left(2,1,3\right)[/inlmath], već [inlmath]\left<2,1,3\right>[/inlmath]; ne [inlmath]\left(1,1,-1\right)[/inlmath], već [inlmath]\left<1,1,-1\right>[/inlmath]; ne [inlmath]\left(4,5,1\right)[/inlmath], već [inlmath]\left<4,5,1\right>[/inlmath]...
Na taj način ih razlikujemo od koordinata tačaka, koje pišemo u oblim zagradama.

I ne zaboravi da vektore, kad ih pišeš kao skup njihovih komponenata, pišeš u izlomljenim, a ne u oblim zagradama. Znači, ne [inlmath]\left(2,1,3\right)[/inlmath], već [inlmath]\left<2,1,3\right>[/inlmath]; ne [inlmath]\left(1,1,-1\right)[/inlmath], već [inlmath]\left<1,1,-1\right>[/inlmath]; ne [inlmath]\left(4,5,1\right)[/inlmath], već [inlmath]\left<4,5,1\right>[/inlmath]...
Na taj način ih razlikujemo od koordinata tačaka, koje pišemo u oblim zagradama.

Da da rekao si mi to vec, samo nisam znala kako se pisu, pa sam nasla poslije tek u latexu kako se pisu.. a da vektor pravca, ne normalee.. aa D sam ovako dobila:
[dispmath]-4x+5y+z+D=0[/dispmath]Mnozenjem s [inlmath](-1)[/inlmath] imam:[dispmath]4x-5y-z-D=0[/dispmath]Sada uvrstim koordinate zadane tačke [inlmath]T[/inlmath], pa imam da je:[dispmath]0+5-0-D=0[/dispmath][dispmath]5-D=0[/dispmath][dispmath]-D=-5[/dispmath][dispmath]D=5[/dispmath].. Da li je ispravno?

indira-aa je napisao:Sada uvrstim koordinate zadane tačke [inlmath]T[/inlmath], pa imam da je:[dispmath]0+5-0-D=0[/dispmath]

E, pa to, u tome je ključ, to sam hteo da vidim.

Sve OK.