MATEMANIJA

Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku [inlmath]M(7,-4,0)[/inlmath] i kroz presjek pravih:
[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}[/dispmath] i [dispmath]\frac{x}{-1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+4}{-2}.[/dispmath]

Prvo treba odrediti tačku preseka ove dve prave. Iz ovih jednačina možemo „izvući“ tri sistema od dve jednačine s dve nepoznate:

1. sistem:
[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}[/dispmath][dispmath]\frac{x}{-1}=\frac{y-4}{2}[/dispmath]
2. sistem:
[dispmath]\frac{x-1}{2}=\frac{z}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{x}{-1}=\frac{z+4}{-2}[/dispmath]
3. sistem:
[dispmath]\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{y-4}{2}=\frac{z+4}{-2}[/dispmath]
Od toga nije potrebno rešavati sva tri sistema, već samo dva. Na primer, prvi i drugi. Ako se u oba sistema dobije ista vrednost za [inlmath]x[/inlmath], to znači da se ove dve prave seku i da bi se rešavanjem trećeg sistema dobile iste vrednosti za [inlmath]y[/inlmath] i za [inlmath]z[/inlmath] kao što su dobijene i rešavanjem prva dva sistema.

Rešenja prva dva sistema bi bila [inlmath]x=3[/inlmath] i [inlmath]y=-2[/inlmath], a rešenja druga dva sistema [inlmath]x=3[/inlmath] i [inlmath]z=2[/inlmath]. Pošto je dobijena vrednost [inlmath]x[/inlmath] ista u oba slučaja, uverili smo se da se ove dve prave seku. Koordinate presečne tačke su, prema tome, [inlmath]\left(3,-2,2\right)[/inlmath].

Sad imamo koordinate dveju tačaka kroz koje prolazi prava čiju jednačinu tražimo. Koordinate tih tačaka su [inlmath]\left(7,-4,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(3,-2,2\right)[/inlmath]. Vektor te prave biće [inlmath]\left<3-7,-2-\left(-4\right),2-0\right>[/inlmath], tj. [inlmath]\left< -4,2,2\right>[/inlmath].

Pošto standardni oblik jednačine prave u prostoru glasi
[dispmath]\frac{x-x_0}{p_x}=\frac{y-y_0}{p_y}=\frac{z-z_0}{p_z}[/dispmath]
gde su [inlmath]x_0[/inlmath], [inlmath]y_0[/inlmath] i [inlmath]z_0[/inlmath] koordinate neke tačke koju ta prava sadrži, a [inlmath]p_x[/inlmath], [inlmath]p_y[/inlmath] i [inlmath]p_z[/inlmath] odgovarajuće komponente vektora te prave, imamo sve što je potrebno da bismo napisali jednačinu tražene prave – imamo komponente vektora te prave i imamo ne jednu, nego čak dve tačke koje ta prava sadrži, od kojih, na potpuno random način, biramo samo jednu, npr. [inlmath]\left(7,-4,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{x-7}{-4}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-0}{2}[/dispmath]
Mogli smo odabrati i ovu drugu tačku te prave, [inlmath]\left(3,-2,2\right)[/inlmath], pa bi onda jednačina prave bila
[dispmath]\frac{x-3}{-4}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-2}{2}[/dispmath]
Iako su jednačine prave naizgled različite, radi se o potpuno istoj pravoj.

e sad dalje zadatak glasi (nastavak na taj) zaboravila sam napisati :/

a zatim odrediti pet tačaka na toj pravoj i pet vektora smjera te prave i pomoću njih napisati pet jednačina te iste prave u parametarskom i kanonskom obliku.

Kako biraš proizvoljnu tačku neke prave date u standardnom obliku?[dispmath]\frac{x-x_0}{p_x}=\frac{y-y_0}{p_y}=\frac{z-z_0}{p_z}[/dispmath]Tako što za neku od ove tri promenljive – [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] ili [inlmath]z[/inlmath] – izabereš neku proizvoljnu vrednost, a zatim, za tako izabranu vrednost te jedne promenljive, nađeš kolike treba da budu vrednosti dveju preostalih promenljivih, kako bi gornje jednakosti bile zadovoljene, a što je uslov da tačka pripada pravoj datoj tom jednačinom.

Kako biraš proizvoljan vektor pravca te prave (po meni je pravilnije reći vektor pravca nego vektor smera, jer prava ima pravac, ali nema smer) – pa, tako što, kada već imaš jedan vektor pravca te prave, nađeš bilo koji njemu kolinearan vektor i on će takođe biti vektor pravca te prave. A kako nalaziš njemu kolinearan vektor – tako što njegov intenzitet pomnožiš nekim skalarom, a to, drugim rečima, znači da svaku od njegove tri komponente pomnožiš tim istim skalarom. Znači, vektor kolinearan vektoru [inlmath]\left<p_x,p_y,p_z\right>[/inlmath] biće vektor [inlmath]\left<ap_x,ap_y,ap_z\right>,\; a\in\mathbb{R}[/inlmath]

Sada ponovo pišemo jednačinu te prave u kanonskom obliku,[dispmath]\frac{x-x_0}{p_x}=\frac{y-y_0}{p_y}=\frac{z-z_0}{p_z}[/dispmath]ali ovog puta u [inlmath]x_0[/inlmath], [inlmath]y_0[/inlmath] i [inlmath]z_0[/inlmath] uvrstimo koordinate te nove tačke koju smo odredili, a u [inlmath]p_x[/inlmath], [inlmath]p_y[/inlmath] i [inlmath]p_z[/inlmath] uvrstimo komponente tog novog vektora pravca posmatrane prave.

Parametarski oblik jednačine prave bi glasio:[dispmath]\begin{cases}
x=x_0+\lambda p_x \\
y=y_0+\lambda p_y \\
z=z_0+\lambda p_z
\end{cases}[/dispmath]gde su, takođe, [inlmath]x_0[/inlmath], [inlmath]y_0[/inlmath] i [inlmath]z_0[/inlmath] koordinate neke tačke koja pripada pravoj, a [inlmath]p_x[/inlmath], [inlmath]p_y[/inlmath] i [inlmath]p_z[/inlmath] komponente nekog vektora pravca te prave.

Evo kako to izgleda na jednom primeru (tebi prepuštam da na potpuno isti način uradiš i preostala četiri primera):

Pošto smo dobili kanonski oblik jednačine tražene prave,[dispmath]\frac{x-7}{-4}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-0}{2}[/dispmath]sada za neku od ove tri promenljive, recimo za [inlmath]x[/inlmath], odredimo neku potpuno random vrednost, neka to bude [inlmath]x=5[/inlmath]. Na taj način smo na potpuno random način odabrali neku tačku s te prave koja ima [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu jednaku [inlmath]5[/inlmath]. Preostale koordinate te tačke, [inlmath]y[/inlmath]- i [inlmath]z[/inlmath]-koordinatu, određujemo uvrštavanjem ove vrednosti [inlmath]x[/inlmath] u jednačinu prave:[dispmath]\frac{5-7}{-4}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-0}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{2}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-0}{2}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad y=-3,\;z=1[/dispmath]Prema tome, ta tačka je [inlmath]\left(5,-3,1\right)[/inlmath].

Na osnovu ove jednačine prave, ajd da je napišem još jednom,[dispmath]\frac{x-7}{-4}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-0}{2}[/dispmath]očitavamo da je vektor pravca te prave jednak [inlmath]\left<-4,2,2\right>[/inlmath]. Bilo koji njemu kolinearan vektor takođe će biti vektor pravca te iste prave. A njemu kolinearan vektor dobijamo množenjem svake od njegovih komponenata jednom istom konstantom. Neka ta konstanta (koju, takođe, uzimamo potpuno random) bude [inlmath]-3[/inlmath], pa dobijamo vektor [inlmath]\left<12,-6,-6\right>[/inlmath].

E, sada kad imamo koordinate te neke nove proizvoljne tačke te prave, kao i komponente tog novog, proizvoljnog vektora pravca te prave, možemo napisati jednačinu te prave u parametarskom obliku,[dispmath]\begin{cases}
x=5+12\lambda \\
y=-3-6\lambda \\
z=1-6\lambda
\end{cases}[/dispmath]
kao i u kanonskom obliku,[dispmath]\frac{x-5}{12}=\frac{y+3}{-6}=\frac{z-1}{-6}\:\left(=\lambda\right)[/dispmath]

Evo kako sam 1 primjer uradila:
[dispmath]y=7,[/dispmath]pa dobijem da je [dispmath]x=15[/dispmath] i [dispmath]z=-4.[/dispmath]Pa tačka [inlmath]A[/inlmath] ima koordinate [inlmath](15,7,-4)[/inlmath]

vektor smjera, uzela sam konstantu [inlmath]5[/inlmath].. pa dobijem [inlmath](-20,10,10)[/inlmath]..to uvrstim je li ovako: [dispmath]\frac{x-7}{-20}=\frac{11}{10}=\frac{z}{10}?[/dispmath]
U parametarskom obliku:
[dispmath]x=15-20\lambda\\
y=7+10\lambda\\
z=-4+10\lambda.[/dispmath]
U kanonskom obliku:
[dispmath]\frac{x-15}{-20}=\frac{y-7}{10}=\frac{z+4}{10}.[/dispmath]
i kako bi bila skica za ovaj zadatak???? hvala

indira-aa je napisao:[dispmath]y=7,[/dispmath]pa dobijem da je [dispmath]x=15[/dispmath] i [dispmath]z=-4.[/dispmath]Pa tačka [inlmath]A[/inlmath] ima koordinate [inlmath](15,7,-4)[/inlmath]

indira-aa je napisao:vektor smjera, uzela sam konstantu [inlmath]5[/inlmath].. pa dobijem [inlmath](-20,10,10)[/inlmath]..

indira-aa je napisao:to uvrstim je li ovako: [dispmath]\frac{x-7}{-20}=\frac{11}{10}=\frac{z}{10}?[/dispmath]

Ne razumem ni kako si ovo dobila, ni šta to predstavlja

indira-aa je napisao:U parametarskom obliku:
[dispmath]x=15-20\lambda\\
y=7+10\lambda\\
z=-4+10\lambda.[/dispmath]

Da nisi pogrešno odredila koordinate tačke, bilo bi , ovako je

indira-aa je napisao:U kanonskom obliku:
[dispmath]\frac{x-15}{-20}=\frac{y-7}{10}=\frac{z+4}{10}.[/dispmath]

Takođe.

indira-aa je napisao:i kako bi bila skica za ovaj zadatak???? hvala

Za koji deo zadatka, onaj prvi u kome se određuje jednačina prave, ili ovaj drugi, u kome se navode primeri?
Zapravo, najbolje da priložiš ovde tačan i kompletan tekst zadatka, da ne bismo previše nagađali.

Hmm pa kako ti odredjujes te koordinate?? Da li je [dispmath]x=15,[/dispmath]a [dispmath]z=11[/dispmath]

Za koji deo zadatka, onaj prvi u kome se određuje jednačina prave, ili ovaj drugi, u kome se navode primeri?

za primjere, kad pisem vektor smjera pomnozen nekom konstantom, da li uvrstavam polaznu jednacinu zadatka [dispmath]\frac{x-7}{-20}=\frac{y+4}{10}=\frac{z}{10}?[/dispmath]..ili u gotov oblik te jednacine kad uvrstimo [inlmath]x[/inlmath]?

indira-aa je napisao:Hmm pa kako ti odredjujes te koordinate?? Da li je [dispmath]x=15,[/dispmath]a [dispmath]z=11[/dispmath]

Ne.
Uzela si za [inlmath]y[/inlmath] vrednost [inlmath]7[/inlmath], imaš jednačinu[dispmath]\frac{x-7}{-4}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-0}{2}[/dispmath]i ne možeš da nađeš koliko su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]?

indira-aa je napisao:kad pisem vektor smjera pomnozen nekom konstantom, da li uvrstavam polaznu jednacinu zadatka [dispmath]\frac{x-7}{-20}=\frac{y+4}{10}=\frac{z}{10}?[/dispmath]..ili u gotov oblik te jednacine kad uvrstimo [inlmath]x[/inlmath]?

Dobro, da li si ti uopšte pročitala uputstvo koje sam ti napisao i primer koji sam ti uradio?
Kada bi vektor pravca uvrstila u tu polaznu jednačinu, to bi značilo da uvek posmatraš jednu istu tačku, a samo uzimaš različite vektore pravca te prave. A zadatak glasi

indira-aa je napisao:a zatim odrediti pet tačaka na toj pravoj i pet vektora smjera te prave i pomoću njih napisati pet jednačina te iste prave u parametarskom i kanonskom obliku.

Ja to ovako odredujem npr.. [dispmath]\frac{x-7}{-4}=\frac{11}{2}=\frac{z-0}{2}[/dispmath].. onda tu imam 3 jednakosti.. prvo iz jednakosti da je prva = drugoj, izrazim [inlmath]x[/inlmath].. i onda iz jednakosti da je 2=3 izrazim [inlmath]z[/inlmath]?

Da da vektor smjera samo napisem [inlmath](-20,10,10)[/inlmath], a onda pisem jednadžbe,, ok to sam skontala

Pa hajde onda, nađi koliko je [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] kada je [inlmath]y=7[/inlmath], vektor pravca si već napisala, napiši zatim jednačinu prave koja obuhvata sve te vrednosti i imaćeš urađen taj primer.