Odrediti rastojanje između pravih:
[dispmath]\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-3}=\frac{z+5}{-1}[/dispmath] i [dispmath]\frac{x}{-4}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-1}{7}.[/dispmath]

Uputstvo bi bilo sledeće:
Obeležimo ove dve prave sa [inlmath]p_1[/inlmath] i [inlmath]p_2[/inlmath]. Postaviš kroz pravu [inlmath]p_2[/inlmath] ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] koja je paralelna pravoj [inlmath]p_1[/inlmath].
(Ovo činiš tako, što znaš da će vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] biti normalan na obe zadate prave, tako da taj vektor normale određuješ kao vektorski proizvod vektora pravaca pravih [inlmath]p_1[/inlmath] i [inlmath]p_2[/inlmath]; jednačinu ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] odrediš tako što joj znaš vektor normale i tako što na pravoj [inlmath]p_2[/inlmath], koju ta ravan sadrži, odabereš neku tačku i postaviš uslov da ta tačka pripada toj ravni.)
Posle toga, zadatak se svodi na određivanje rastojanja između ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] i bilo koje tačke (obeležimo je sa [inlmath]M_1[/inlmath]) koja se nalazi na pravoj [inlmath]p_1[/inlmath] (koja je van te ravni, a paralelna s njom).
To se radi tako što se kroz tu tačku [inlmath]M_1[/inlmath] postavi normala na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath], a vektor pravca te normale već imamo, to je vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath].
Odredimo tačku prodora te normale kroz ravan (tu tačku prodora označimo sa [inlmath]M_2[/inlmath]) i, na kraju, nađemo rastojanje između [inlmath]M_1[/inlmath] i [inlmath]M_2[/inlmath]. To rastojanje odgovaraće rastojanju između zadate dve mimoilazne prave.
Ako nigde u računu nisam omašio, rešenje bi trebalo da je [inlmath]d=\frac{91\sqrt{953}}{953}[/inlmath].

Da li ima neka formula za ovo, pa da se uvrste ovo vrijednosti koje su vec poznate iz pravih?

Ovo pitanje je baš i mene zainteresovalo, pa sam razmatrao opšti slučaj, u kome treba odrediti rastojanje između prave[dispmath]\frac{x-x_1}{p_{x_1}}=\frac{y-y_1}{p_{y_1}}=\frac{z-z_1}{p_{z_1}}[/dispmath]i prave[dispmath]\frac{x-x_2}{p_{x_2}}=\frac{y-y_2}{p_{y_2}}=\frac{z-z_2}{p_{z_2}}[/dispmath]Kao krajnji rezultat sam dobio[dispmath]d=\frac{\left|p_x\left(x_2-x_1\right)+p_y\left(y_2-y_1\right)+p_z\left(z_2-z_1\right)\right|}{\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}}[/dispmath]gde su [inlmath]p_x[/inlmath], [inlmath]p_y[/inlmath] i [inlmath]p_z[/inlmath] komponente vektorskog proizvoda vektora [inlmath]\left<p_{x_1},p_{y_1},p_{z_1}\right>[/inlmath] i [inlmath]\left<p_{x_2},p_{y_2},p_{z_2}\right>[/inlmath]:[dispmath]\begin{array}{ll}
p_x=p_{y_1}p_{z_2}-p_{y_2}p_{z_1}\\
p_y=p_{x_2}p_{z_1}-p_{x_1}p_{z_2}\\
p_z=p_{x_1}p_{y_2}-p_{x_2}p_{y_1}
\end{array}[/dispmath]Naravno, ako na testu/ispitu budeš radila uz pomoć ove gotove formule, možeš očekivati da ti zadatak neće biti priznat, budući da se od vas traži da zamišljate situaciju u prostoru i da na osnovu toga, sa razumevanjem, ispišete jednačine, a ne da samo uvrstite vrednosti u neku gotovu jednačinu koju ste, prethodno, naučili napamet. Ova jednačina u opštem obliku može da ti posluži čisto da pomoću nje proveriš da li je rešenje koje si dobila standardnim postupkom ispravno.

Eto, ako si dokona i ako bi ti bilo zanimljivo, možeš pokušati da sama izvedeš tu jednačinu za opšti slučaj, to bi ti bila izvrsna vežba.

Čisto da zaokružimo ovu priču, evo i celog postupka rešavanja za opšti slučaj, kada su dve prave u prostoru, između kojih treba odrediti rastojanje, zadate opštim brojevima:[dispmath]p_1:\quad\frac{x-x_1}{p_{x_1}}=\frac{y-y_1}{p_{y_1}}=\frac{z-z_1}{p_{z_1}}[/dispmath][dispmath]p_2:\quad\frac{x-x_2}{p_{x_2}}=\frac{y-y_2}{p_{y_2}}=\frac{z-z_2}{p_{z_2}}[/dispmath]Postavljamo ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] kroz pravu [inlmath]p_2[/inlmath], takvu da je paralalelna s pravom [inlmath]p_1[/inlmath]. Njen vektor normale će biti normalan na svaku od ove dve prave, pa će on biti jednak vektorskom proizvodu vektora pravaca ove dve prave:[dispmath]\left<p_x,p_y,p_z\right>=\left<p_{x_1},p_{y_1},p_{z_1}\right>\times\left<p_{x_2},p_{y_2},p_{z_2}\right>=\begin{vmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
p_{x_1} & p_{y_1} & p_{z_1} \\
p_{x_2} & p_{y_2} & p_{z_2}
\end{vmatrix}=\left<p_{y_1}p_{z_2}\!-\!p_{y_2}p_{z_1},\;p_{x_2}p_{z_1}\!-\!p_{x_1}p_{z_2},\;p_{x_1}p_{y_2}\!-\!p_{x_2}p_{y_1}\right>[/dispmath]Znači,[dispmath]\begin{array}{ll}
p_x=p_{y_1}p_{z_2}-p_{y_2}p_{z_1}\\
p_y=p_{x_2}p_{z_1}-p_{x_1}p_{z_2}\\
p_z=p_{x_1}p_{y_2}-p_{x_2}p_{y_1}
\end{array}[/dispmath]Budući da ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] sadrži pravu [inlmath]p_2[/inlmath], sadržaće i bilo koju tačku koju sadrži i prava [inlmath]p_2[/inlmath], prema tome, sadržaće i tačku [inlmath]\left(x_2,y_2,z_2\right)[/inlmath]:[dispmath]\alpha:\quad p_x\left(x-x_2\right)+p_y\left(y-y_2\right)+p_z\left(z-z_2\right)=0\quad\left(1\right)[/dispmath]Zadatak se sada svodi na određivanje rastojanja bilo koje tačke koja pripada pravoj [inlmath]p_1[/inlmath], od ravni [inlmath]\alpha[/inlmath]. Odaberemo bilo koju tačku na pravoj [inlmath]p_1[/inlmath], recimo tačku [inlmath]M_1\left(p_{x_1},p_{y_1},p_{z_1}\right)[/inlmath]. Kroz nju provučemo normalu na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath]:[dispmath]n_\alpha:\quad\frac{x-x_1}{p_x}=\frac{y-y_1}{p_y}=\frac{z-z_1}{p_z}\quad\left(2\right)[/dispmath]Prodorna tačka ove normale kroz ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] biće neka tačka [inlmath]M_2\left(x_P,y_P,z_P\right)[/inlmath]. Rastojanje koje tražimo biće jednako rastojanju tačaka [inlmath]M_1[/inlmath] i [inlmath]M_2[/inlmath], tj.[dispmath]d=\sqrt{\left(x_P-x_1\right)^2+\left(y_P-y_1\right)^2+\left(z_P-z_1\right)^2}[/dispmath]Budući da tačka [inlmath]M_2[/inlmath] istovremeno pripada i ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] i pravcu [inlmath]n_\alpha[/inlmath], njene koordinate [inlmath]\left(x_P,y_P,z_P\right)[/inlmath] određujemo preko sistema od tri jednačine s tri nepoznate, pri čemu je prva jednačina sistema jednačina ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], a druge dve jednačine dobijamo iz jednačine pravca [inlmath]n_\alpha[/inlmath] [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]:[dispmath]p_x\left(x_P-x_2\right)+p_y\left(y_P-y_2\right)+p_z\left(z_P-z_2\right)=0[/dispmath][dispmath]\frac{x_P-x_1}{p_x}=\frac{y_P-y_1}{p_y}[/dispmath][dispmath]\frac{x_P-x_1}{p_x}=\frac{z_P-z_1}{p_z}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad y_P=\frac{p_y}{p_x}\left(x_P-x_1\right)+y_1[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad z_P=\frac{p_z}{p_x}\left(x_P-x_1\right)+z_1[/dispmath][dispmath]p_x\left(x_P-x_2\right)+p_y\left[\frac{p_y}{p_x}\left(x_P-x_1\right)+y_1-y_2\right]+p_z\left[\frac{p_z}{p_x}\left(x_P-x_1\right)+z_1-z_2\right]=0\quad/\cdot p_x[/dispmath][dispmath]p_x^2\left(x_P-x_2\right)+p_y^2\left(x_P-x_1\right)+p_xp_y\left(y_1-y_2\right)+p_z^2\left(x_P-x_1\right)+p_xp_z\left(z_1-z_2\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)x_P=p_x^2x_2+p_y^2x_1+p_z^2x_1+p_xp_y\left(y_2-y_1\right)+p_xp_z\left(z_2-z_1\right)[/dispmath][dispmath]x_P=\frac{p_x^2x_2+p_y^2x_1+p_z^2x_1+p_xp_y\left(y_2-y_1\right)+p_xp_z\left(z_2-z_1\right)}{p_x^2+p_y^2+p_z^2}[/dispmath][dispmath]x_P-x_1=\frac{p_x^2x_2+p_y^2x_1+p_z^2x_1+p_xp_y\left(y_2-y_1\right)+p_xp_z\left(z_2-z_1\right)-x_1\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)}{p_x^2+p_y^2+p_z^2}[/dispmath][dispmath]x_P-x_1=\frac{p_x^2\left(x_2-x_1\right)+p_xp_y\left(y_2-y_1\right)+p_xp_z\left(z_2-z_1\right)}{p_x^2+p_y^2+p_z^2}[/dispmath][dispmath]x_P-x_1=p_x\cdot\frac{p_x\left(x_2-x_1\right)+p_y\left(y_2-y_1\right)+p_z\left(z_2-z_1\right)}{p_x^2+p_y^2+p_z^2}[/dispmath][dispmath]\left(x_P-x_1\right)^2=p_x^2\cdot\frac{\left[p_x\left(x_2-x_1\right)+p_y\left(y_2-y_1\right)+p_z\left(z_2-z_1\right)\right]^2}{\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)^2}[/dispmath]Ne moramo ni određivati same koordinate tačke [inlmath]M_2\left(x_P,y_P,z_P\right)[/inlmath], već možemo i bez njih odmah odrediti [inlmath]\left(x_P-x_1\right)^2[/inlmath], [inlmath]\left(y_P-y_1\right)^2[/inlmath] i [inlmath]\left(z_P-z_1\right)^2[/inlmath], budući da su nam samo ti kvadrati razlika potrebni radi određivanja traženog rastojanja.[dispmath]y_P-y_1=\frac{p_y}{p_x}\left(x_P-x_1\right)[/dispmath][dispmath]\left(y_P-y_1\right)^2=\frac{p_y^2}{p_x^2}\left(x_P-x_1\right)^2[/dispmath][dispmath]\left(y_P-y_1\right)^2=\frac{p_y^2}{p_x^2}\cdot p_x^2\cdot\frac{\left[p_x\left(x_2-x_1\right)+p_y\left(y_2-y_1\right)+p_z\left(z_2-z_1\right)\right]^2}{\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)^2}[/dispmath][dispmath]\left(y_P-y_1\right)^2=p_y^2\cdot\frac{\left[p_x\left(x_2-x_1\right)+p_y\left(y_2-y_1\right)+p_z\left(z_2-z_1\right)\right]^2}{\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)^2}[/dispmath][dispmath]z_P-z_1=\frac{p_z}{p_x}\left(x_P-x_1\right)[/dispmath][dispmath]\left(z_P-z_1\right)^2=\frac{p_z^2}{p_x^2}\left(x_P-x_1\right)^2[/dispmath][dispmath]\left(z_P-z_1\right)^2=\frac{p_z^2}{p_x^2}\cdot p_x^2\cdot\frac{\left[p_x\left(x_2-x_1\right)+p_y\left(y_2-y_1\right)+p_z\left(z_2-z_1\right)\right]^2}{\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)^2}[/dispmath][dispmath]\left(z_P-z_1\right)^2=p_z^2\cdot\frac{\left[p_x\left(x_2-x_1\right)+p_y\left(y_2-y_1\right)+p_z\left(z_2-z_1\right)\right]^2}{\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]\left(x_P-x_1\right)^2+\left(y_P-y_1\right)^2+\left(z_P-z_1\right)^2=\frac{\left[p_x\left(x_2-x_1\right)+p_y\left(y_2-y_1\right)+p_z\left(z_2-z_1\right)\right]^2}{\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)^2}\left(p_x^2+p_y^2+p_z^2\right)[/dispmath][dispmath]\left(x_P-x_1\right)^2+\left(y_P-y_1\right)^2+\left(z_P-z_1\right)^2=\frac{\left[p_x\left(x_2-x_1\right)+p_y\left(y_2-y_1\right)+p_z\left(z_2-z_1\right)\right]^2}{p_x^2+p_y^2+p_z^2}[/dispmath][dispmath]d=\sqrt{\left(x_P-x_1\right)^2+\left(y_P-y_1\right)^2+\left(z_P-z_1\right)^2}[/dispmath][dispmath]d=\sqrt{\frac{\left[p_x\left(x_2-x_1\right)+p_y\left(y_2-y_1\right)+p_z\left(z_2-z_1\right)\right]^2}{p_x^2+p_y^2+p_z^2}}[/dispmath][dispmath]d=\frac{\sqrt{\left[p_x\left(x_2-x_1\right)+p_y\left(y_2-y_1\right)+p_z\left(z_2-z_1\right)\right]^2}}{\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}}[/dispmath][dispmath]d=\frac{\left|p_x\left(x_2-x_1\right)+p_y\left(y_2-y_1\right)+p_z\left(z_2-z_1\right)\right|}{\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}}[/dispmath]