MATEMANIJA

Naći jednačinu ravni koja odsjeca na [inlmath]Ox[/inlmath]-osi i [inlmath]Oy[/inlmath]-osi odsjecke [inlmath]6[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] i normalna je na ravan [inlmath]4x+y-2z+7=0[/inlmath].

Ovaj dio sam ja uradio i ne znam sta bih trebao dalje, pa ako može mala pomoć
Jednacina ravni:
[dispmath]Ax+By+Cz+D=0[/dispmath]
1. pošto su dvije ravni normalne, iz uslova
[dispmath]n_1\cdot n_2=0[/dispmath](skalarni proizvod vektora normala), [inlmath]n_1=(4,1,-2)[/inlmath]
Skalarni proizvod je
[dispmath]4A+B-2C=0[/dispmath]
2. iz ovih odsječaka sam dobio
[dispmath]Ox=6\quad\Longrightarrow\quad y=z=0\quad\Longrightarrow\quad Ax+D=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{D}{A}=6\\
Oy=3\quad\Longrightarrow\quad x=z=0\quad\Longrightarrow\quad By+D=0\quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{D}{B}=3[/dispmath]
Ovdje sam zapeo i ne znam šta bih dalje trebao uraditi da odredim traženu jednačinu ravni

Pozdrav, dobro došao na forum. Pitanje si vrlo lepo postavio, samo sam ti u Latexu korigovao nekoliko stvari (umesto [inlmath]*[/inlmath] se koristi \cdot, umesto [inlmath]=>[/inlmath] znak za implikaciju \Longrightarrow, a umesto kose crte postoji komanda za razlomak, \frac). Čisto da znaš radi budućih postova.

Zapravo si i uradio skoro ceo zadatak. Sada samo treba [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] izraziti preko [inlmath]D[/inlmath]. Iz poslednje dve relacije prvo izraziš [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] preko [inlmath]D[/inlmath],
[dispmath]A=-\frac{D}{6},\quad B=-\frac{D}{3}[/dispmath]
Uvrštavanjem u [inlmath]4A+B-2C=0[/inlmath] sada se može i [inlmath]C[/inlmath] izraziti preko [inlmath]D[/inlmath],
[dispmath]4\left(-\frac{D}{6}\right)+\left(-\frac{D}{3}\right)-2C=0\quad\Longrightarrow\quad\cdots\quad\Longrightarrow\quad C=-\frac{D}{2}[/dispmath]
Sad uvrsti [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] u [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath] i dobićeš oblik jednačine ravni u kojem figuriše samo [inlmath]D[/inlmath], što je i bio cilj. Obe strane jednačine sada možeš podeliti sa [inlmath]D[/inlmath], nakon čega se jednačina ravni svodi na
[dispmath]-\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}z+1=0[/dispmath]
Naravno, nije pogrešno kao rezultat ostaviti i ovaj oblik, ali je zgodno sve zapisati u celim brojevima. Radi toga, pomnožimo obe strane jednačine NZS-om imenilaca a to je [inlmath]6[/inlmath] (iako nije neophodno, možemo pomnožiti i minusom, budući da na levoj strani uglavnom figurišu minusi, a „lepše“ je imati pluseve – tj. množimo sa [inlmath]-6[/inlmath] umesto sa [inlmath]6[/inlmath]):
[dispmath]\enclose{box}{x+2y+3z-6=0}[/dispmath]