MATEMANIJA

Molim za pomoć oko ovog zadatka: Date su tačke [inlmath]A(-2,2)[/inlmath], [inlmath]B(1,-4)[/inlmath] i [inlmath]C(4,5)[/inlmath]. Kada se duž [inlmath]AB[/inlmath] produži za trećinu svoje dužine dobije se tačka [inlmath]M[/inlmath] tako da je [inlmath]B[/inlmath] između [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath]. Naći površinu trougla [inlmath]ACM[/inlmath].

Ja sam prvo izračunala dužinu duži [inlmath]AB[/inlmath]: [inlmath]d=\sqrt{(1+2)^2+(-4-2)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5[/inlmath]
Ovaj produženi deo bi trebalo da iznosi: [inlmath]\frac{1}{3}\cdot3\sqrt5=\sqrt5[/inlmath]
Ne bih dalje da pišem kako sam radila jer nije tačno, rešenje je [inlmath]P=30[/inlmath], ja sam dobila [inlmath]\frac{135}{4}[/inlmath] , ne znam kako, zadatak nije težak...

Do sada znamo da je: [inlmath]|AB|=3\sqrt5[/inlmath] i [inlmath]|BM|=\sqrt5[/inlmath]

Možemo uočiti da je: [inlmath]P_{ACM}=P_{ABC}+P_{BCM}\quad(1)[/inlmath]
Računajući dalje, dobijamo: [inlmath]|AC|=3\sqrt5[/inlmath] i [inlmath]|BC|=3\sqrt{10}[/inlmath] pa je naš trougao [inlmath]ABC[/inlmath] jednakokraki, jer je [inlmath]|AB|=|AC|=3\sqrt5[/inlmath]

Izračunajmo sada visinu iz tjemena [inlmath]A[/inlmath] na stranicu [inlmath]BC[/inlmath]
[dispmath]h_a=\sqrt{|AC|^2-\frac{|BC|^2}{4}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}\\
P_{ABC}=\frac{|BC|\cdot h_a}{2}=\frac{45}{2}\quad(2)[/dispmath] Visina iz tjemena [inlmath]C[/inlmath] na [inlmath]AB[/inlmath] u trouglu [inlmath]ABC[/inlmath], jednaka je visini iz tjemena [inlmath]C[/inlmath] na [inlmath]|BM|[/inlmath] u trouglu [inlmath]BCM[/inlmath] (tupougli trougao), označimo je sa [inlmath]h_c[/inlmath]
[dispmath]h_c=\frac{|BC|\cdot h_a}{|AC|}=3\sqrt5\\
P_{BCM}=\frac{|BM|\cdot h_c}{2}=\frac{15}{2}\quad(3)\\
(1),(2),(3)\quad\Longrightarrow\quad P_{ACM}=\frac{60}{2}=30[/dispmath]

Može se ovo uraditi i dosta jednostavnije, npr. pomoću Heronovog obrasca, ili preko determinante koja odmah daje površinu trougla (u ovom drugom slučaju nije ni potrebno izračunavati dužine stranica trougla).

MartinaJuric je napisao:Ne bih dalje da pišem kako sam radila jer nije tačno,

Pa, upravo treba da napišeš taj deo svog postupka koji nije tačan, kako bismo ti rekli na kom mestu si pogrešila. Ovaj deo postupka koji jeste tačan, ne znači nam mnogo.

Ja ti preporučujem da, bez obzira na rešenje koje ti je pokazala mala_mu, ipak pokušaš da pronađeš svoju grešku. U tome ti možemo pomoći ako nam priložiš taj deo postupka, ili, ako ti je teško sve da kucaš, napiši bar na koji način si radila zadatak i navedi međurezultate koje si dobila.

Sve mi je jasno do dela kada računaš visinu [inlmath]h_c[/inlmath], odatle mi nije baš jasnije. Dok sam kucala ponovo svoj postupak shvatila sam da sam samo u računanju pogrešila.
Evo kako se radi jednostavnije, bar meni jednostavnije.
Nakon što sam izračunala dužinu stranice [inlmath]AB=3\sqrt5[/inlmath] i [inlmath]BM=\sqrt5[/inlmath], izračunala sam koeficijent
[dispmath]k=\frac{3\sqrt5}{\sqrt5}[/dispmath][dispmath]k=3[/dispmath] Duž [inlmath]AM[/inlmath] je podeljena na [inlmath]AB=3\sqrt5[/inlmath] i [inlmath]BM=\sqrt5[/inlmath] pa sam računala [inlmath]k[/inlmath] kako bih uz pomoć obrasca za podelu duži u datoj razmeri izračunala koordinate tačke [inlmath]M[/inlmath].
Tačka [inlmath]B[/inlmath] je između tačke [inlmath]A[/inlmath] i tačke [inlmath]M[/inlmath].
[dispmath]x_b=\frac{x_a+kx_m}{1+k}[/dispmath][dispmath]1=\frac{-2+3x_m}{1+3}[/dispmath][dispmath]x_m=2[/dispmath][dispmath]y_b=\frac{y_a+ky_m}{1+k}[/dispmath][dispmath]-4=\frac{2+3y_m}{1+3}[/dispmath][dispmath]y_m=-6[/dispmath] Tačka [inlmath]M[/inlmath] ima koordinate [inlmath](2,-6)[/inlmath]. I onda se preko formule [inlmath]P=\frac{1}{2}|x_a(y_m-y_c)+x_m(y_c-y_a)+x_c(y_a-y_m)|[/inlmath] izračuna površina trougla [inlmath]ACM[/inlmath].

[dispmath]M(2,-6)\\
P=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
-2 & 2 & 1\\
2 & -6 & 1\\
4 & 5 & 1
\end{vmatrix}=30[/dispmath]

Nije bilo razloga da racunaš dužine tih dveju duži ako u zadatku već stoji u kom su odnosu.

Joj da, u pravu si. Odnos je
[dispmath]\frac{\frac{3}{3}}{\frac{1}{3}}[/dispmath] odnosno
[dispmath]k=3[/dispmath]

Baš zakomplikovah Prvo sam se sjetila ovog načina pa sam njega i ispisala

Formula za visinu [inlmath]h_c[/inlmath] se lako može i izvesti, mada bi trebala biti poznata:

Neka je [inlmath]AX[/inlmath] visina iz tjemena [inlmath]A[/inlmath] na stranicu [inlmath]BC[/inlmath], gdje [inlmath]X\in p(B,C)[/inlmath], i [inlmath]CY[/inlmath] visina iz [inlmath]C[/inlmath] na [inlmath]AB[/inlmath], gdje [inlmath]Y\in p(A,B)[/inlmath]
[dispmath]\triangle YCB\sim\triangle XAC[/dispmath][dispmath]\frac{YC}{XA}=\frac{CB}{AC}[/dispmath][dispmath]\frac{h_c}{h_a}=\frac{BC}{AC}[/dispmath][dispmath]h_c=\frac{BC\cdot h_a}{AC}[/dispmath]

Zaista je nepotrebno raditi preko visina. Najlakše je koristiti formulu za površinu trougla, [inlmath]P=\frac{1}{2}\text{ abs}\left(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\right)[/inlmath], koju je MartinaJuric i napisala u razvijenom obliku. Naravno, [inlmath](x_1,y_1)[/inlmath], [inlmath](x_2,y_2)[/inlmath] i [inlmath](x_3,y_3)[/inlmath] predstavljaju koordinate temena trougla. Za trougao [inlmath]\triangle ACM[/inlmath] koordinate temena [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] su poznate, a koordinate tačke [inlmath]M[/inlmath] možemo odrediti preko koeficijenta pravca, kako si @MartinaJuric i radila, ali možemo i na jednostavniji način – tako što iz uslova zadatka imamo da je razlika [inlmath]x[/inlmath]-koordinata tačaka [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath] jednaka trećini razlike [inlmath]x[/inlmath]-koordinata tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], tj. [inlmath]x_M-x_B=\frac{1}{3}(x_B-x_A)[/inlmath]. Na sličan način se odredi i [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tačke [inlmath]M[/inlmath].

---

A ukoliko ne želimo da koristimo gorenavedenu formulu za površinu trougla, može se uraditi i preko Heronovog obrasca, tako što, nakon određivanja koordinata tačke [inlmath]M[/inlmath], izračunamo dužine stranica trougla [inlmath]\triangle ACM[/inlmath],
[inlmath]AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}=\cdots\\
AM=\cdots\\
CM=\cdots[/inlmath]
zatim nađemo poluobim [inlmath]s=\frac{AC+AM+CM}{2}[/inlmath] i na kraju primenimo Heronov obrazac, [inlmath]P=\sqrt{s(s-AC)(s-AM)(s-CM)}[/inlmath]...