MATEMANIJA

Nisam siguran da li najbolje razumem ovo pa cu vam napisati gde imam problem u zadatku.

Zadatak glasi ovako:
Dati su vektori
[dispmath]\vec{a}=(-1,3,2),\;\vec{b}=(-2,-3,4),\;\vec{c}=(-3,9,6).[/dispmath] Dokazati da su dati vektori komplanarni, pa naci njihovu linearnu zavisnost.

Ja sam krenuo sa linearnom zavisnoscu tj. izjednacio sam ih s nulom.
[dispmath]\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}=\vec{0}\\
\alpha(-1,3,2)+\beta(-2,-3,4)+\gamma(-3,9,6)=(0,0,0)[/dispmath] Sabiranjem dobijam sledece:
[dispmath](-\alpha-2\beta-3\gamma,\;3\alpha-3\beta+9\gamma,\;2\alpha+4\beta+6\gamma)=(0, 0, 0)[/dispmath] Sada imam sistem:
[dispmath]-\alpha-2\beta-3\gamma=0\\
3\alpha-3\beta+9\gamma=0\\
2\alpha+4\beta+6\gamma=0[/dispmath] Kada trecu jednacinu podelim sa [inlmath]2[/inlmath], onda mogu da je oduzmem od prve i tada mi samo ostaje
[dispmath]3\alpha-3\beta+9\gamma=0[/dispmath] tj. kada to skratim sa [inlmath]3[/inlmath]
[dispmath]\alpha-\beta+3\gamma=0[/dispmath] Dalje ne znam sta treba da odradim. Kako da dodjem do kraja zadatka i kako da dokazem da su ti vektori komplanarni ? Svaka pomoc je dobro dosla.

Mislim da ovde imaš sve što je potrebno da odradiš zadatak do kraja.

Svakako pogledaj temu na koju ti je Miladin linkovao, a evo i odgovora u vezi s ovim konkretnim zadatkom.

dunkfather je napisao:[dispmath]-\alpha-2\beta-3\gamma=0\\
3\alpha-3\beta+9\gamma=0\\
2\alpha+4\beta+6\gamma=0[/dispmath] Kada trecu jednacinu podelim sa [inlmath]2[/inlmath], onda mogu da je oduzmem od prve i tada mi samo ostaje
[dispmath]3\alpha-3\beta+9\gamma=0[/dispmath]

Ne ostaje samo to. Pošto si treću jednačinu podelio sa [inlmath]2[/inlmath] i dodao je prvoj (ne oduzeo od prve), za prvu jednačinu ti ostaje [inlmath]0=0[/inlmath], a treća i dalje ostaje [inlmath]2\alpha+4\beta+6\gamma=0[/inlmath]. Prema tome, ostaju ti dve jednačine s tri nepoznate,
[dispmath]3\alpha-3\beta+9\gamma=0\\
2\alpha+4\beta+6\gamma=0[/dispmath] Kao rešenje ovog sistema treba da se dobije da je [inlmath]\beta=0[/inlmath], a [inlmath]\alpha[/inlmath] se izrazi preko [inlmath]\gamma[/inlmath] tako da je [inlmath]\alpha=-3\gamma[/inlmath]. Čim za [inlmath](\alpha,\beta,\gamma)[/inlmath] postoji bar jedno netrivijalno rešenje (rešenje takvo da nisu svi jednaki nuli) znači da vektori jesu linearno zavisni.

dunkfather je napisao:i kako da dokazem da su ti vektori komplanarni ? Svaka pomoc je dobro dosla.

Tako što odrediš mešoviti proizvod ovih vektora. Ako je mešoviti proizvod jednak nuli, to znači da su vektori komplanarni (što je i logično, jer mešoviti proizvod vektora predstavlja zapreminu paralelepipeda konstruisanog nad tim vektorima, a ako je njegova zapremina nula, to znači da su sva tri vektora u istoj ravni).

Inače, iz linearne zavisnosti tri vektora sledi i da su oni komplanarni – jer, iz njihove linearne zavisnosti sledi da se bar jedan od njih može predstaviti preko linearne kombinacije preostala dva vektora, što znači da će se taj vektor nalaziti u istoj ravni kao i ta dva preko kojih je predstavljen.
Važi i obrnuta implikacija – ako su sva tri vektora u istoj ravni, tada se bar jedan od njih može predstaviti preko linearne kombinacije preostala dva vektora, što znači da su linearno zavisni.
Da su ovi vektori linearno zavisni može se odmah videti i bez računanja, po tome što su vektori [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec c[/inlmath] kolinearni (jer su im koordinate proporcionalne), što znači da se svaki od ta dva vektora može izraziti kao skalarni umnožak onog drugog.

Hvala na brzom odgovoru