MATEMANIJA

E ovako,imam zadatk da napravim izvodjenje formule involute kruga,i onda da to isto uradim ali tak da je brzina konstanta(1 izvod)

prateci upustva sa sajta (http://mathforum.org/mathimages/index.php/Involute#General_Formula_for_Involutes) ja lepo izvedem parametarsku jednacinu involute ,nacrtam grafik i sve lepo radi.

Problem nastaje kada cu da izvedem sa konstanm brzinom(skalar).

Posto sada imam [inlmath]x(t)[/inlmath] i [inlmath]y(t)[/inlmath] involute,ja nadjem prvi izvod(brzina) i njenu skalarnu vrednost i izdjednacim je sa [inlmath]v_0[/inlmath]
[dispmath]\vec{r}=\Bigl(\cos(t)+t\sin(t),\;r\bigl(-t\cos(t)+\sin(t)\bigr)\Bigr)\\
\dot{\vec{r}}=\bigl(rt\cos(t),\;rt\sin(t)\bigr)\\
\sqrt{\bigl(rt\cos(t)\bigr)^2+\bigl(rt\sin(t)\bigr)^2}=v_0\\
rt =v_0[/dispmath] i sada mi nije jasn sta se desava, [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]v_0[/inlmath] su konstante a [inlmath]t[/inlmath] je promenjivo vreme,probao sam da vratim u jednacinu za brzinu pa da integralim da dobijem nove [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], ali njihv grafik je skrz linearan,a trebao bi da bude isti ka u prvom izvodjenju...
Jedino sto mi pada na pamet je da u u jednacinama za [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] zamenim ovo [inlmath]t[/inlmath] sto nije u [inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]\cos[/inlmath] fuknciji sa [inlmath]\frac{v_0}{r}[/inlmath] ali ne znam kako to matematicki da opravdam :/

Ako imamo neku krivu [inlmath]\alpha[/inlmath] u ravni i ako je [inlmath]\alpha \colon (a,b) \to \mathbb{R}^2[/inlmath], [inlmath]\alpha(t)=(x(t),y(t))[/inlmath], jedna njena parametrizacija, onda se uvodjenjem prirodnog parametra moze naci takva parametrizacija da data kriva ima brzinu jedan. Naime, prirodni parametar [inlmath]s[/inlmath] se odredjuje iz [inlmath]s=f(t)=\int_c^t \|\alpha'(\tau)\|\,d\tau[/inlmath], gde je [inlmath]c \in (a,b)[/inlmath] proizvoljna tacka. Tada se proveri da ako uzmemo [inlmath]t = f^{-1}(s)[/inlmath], tj. [inlmath]\alpha(s)=(x(f^{-1}(s)),y(f^{-1}(s)))[/inlmath], da je u pitanju parametrizacija sa konstantnom brzinom (i ta brzina je tacno jedan (ukoliko zelimo da je brzina konstatna, ali da nije jedan, onda mislim da je jasno kako se iz ove prirodne parametrizacije izvesti parametrizacija sa zeljenom brzinom)). Napomenucu i samo da ovaj problem nije uvek ekplicitno resiv, tj. da ako je kriva regularna ([inlmath]\alpha'(t) \neq (0,0)[/inlmath] za svako [inlmath]t \in (a,b)[/inlmath]) tada sigurno mozemo uvesti prirodan parametar, ali da problem nastaje ako nismo u stanju da resimo integral koji dobijemo (i onda se u tim slucajevima koriste numericke metode).

U tvom zadatku, koliko videh na Wikipediji, si ispustio jedno [inlmath]r[/inlmath] u parametrizaciji (u prvoj koordinati, sto se i vidi iz jednacine tangetnog vektora kojeg si dobio). Naime, parametrizacija jednacine involute kruge glasi [inlmath]\alpha(t)=(r(\cos t + t \sin t), r(\sin t - t \cos t))[/inlmath], gde je [inlmath]r[/inlmath] poluprecnik kruga (i kod nas je [inlmath]r=1[/inlmath] pa nema potrebe da ga dalje pisemo) i [inlmath]t \in \mathbb{R}[/inlmath] (s tim da ako je [inlmath]t >0[/inlmath] onda je kretanje u smeru suprotnom od smera kretanja kazaljke na satu, a za [inlmath]t< 0[/inlmath] je obratno). [inace mislim da nije pametno da i za poluprecnik kruga i za samu krivu koristis isto slovo, tj. [inlmath]r[/inlmath]]

Ako bi uzeo da je kod tebe [inlmath]t > 0[/inlmath], onda bi, recimo, [inlmath]\alpha(s)=(\cos \sqrt{2s} + \sqrt{2s} \sin \sqrt{2s}, \sin \sqrt{2s}-\sqrt{2s}\cos\sqrt{2s})[/inlmath], [inlmath]s > 0[/inlmath], bila jedna reparametrizacija date kriva tako da kriva ima jedinicnu brzinu.

Edit: u stvari, vidim da nije u pitanju jedinicnu krug, no mislim da ces na osnovu datih uputstava moci da se snadjes.