MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF - 26. jun 2009.
15. zadatak

Jednačina kruga čiji je centar presečna tačka pravih [inlmath]x+2y−2=0[/inlmath], [inlmath]3x+y+4=0[/inlmath] i koji dodiruje pravu [inlmath]5x+12y−1=0[/inlmath], jeste:

Prvo se nadju koordinate presecne tacke (tj. centra kruga) pravih [inlmath]x+2y−2=0[/inlmath] i prave [inlmath]3x+y+4=0[/inlmath] tako sto se resi ovaj sistem. Dobije se: [inlmath]p=-2[/inlmath] i [inlmath]q=2[/inlmath]. Odatle je centar kruga [inlmath]C(-2,2)[/inlmath]. Zatim se prava [inlmath]5x+12y-1[/inlmath] napise u eksplicitnom obliku pri cemu se dobija: [inlmath]y=-\frac{5}{12}x+\frac{1}{12}[/inlmath]. Sad vidimo da je [inlmath]k=-\frac{5}{12}[/inlmath], i [inlmath]n=\frac{1}{12}[/inlmath]. Imamo sve sto nam je potrebno da nadjemo poluprecnik kruga koji dodiruje pravu [inlmath]5x+12y-1=0[/inlmath] iz uslova dodira: [inlmath]r^2\left(1+k^2\right)=(kp-q+n)^2[/inlmath]. Naravno, nemojte da kvadrirate zagradu na desnoj strani pa da onda zamenjujete slova sa brojevima nego odmah zamenite slova sa brojevima. Dobije se da je [inlmath]r=1[/inlmath], pa je jednacina kruga: [inlmath](x+2)^2+(y-2)^2=1[/inlmath]

Dodao bih samo da nismo morali da koristimo uslov dodira u ovom zadatku, već je moglo za nijansu jednostavnije. Mogli smo iskoristiti formulu za rastojanje prave od date tačke koja glasi:
Rastojanje tačke [inlmath]M(x_0,y_0)[/inlmath] od prave [inlmath]Ax+By+C=0[/inlmath] je:
[dispmath]d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/dispmath] U ovom zadatku tražili bismo rastojanje tačke [inlmath]C(2,-2)[/inlmath] od prave [inlmath]5x+12y-1=0[/inlmath].
Naravno, rastojanje tačke od prave predstavlja dužinu normale iz date tačke na pravu, a kako naša prava dodiruje kružnicu, znamo da je ona tangenta, te ona sa poluprečnikom (određenim centrom i dodirnom tačkom) zaklapa prav ugao, pa u ovom slučaju ta normala je u stvari poluprečnik dužine:
[dispmath]d=\frac{|5\cdot(-2)+12\cdot2+(-1)|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{13}{\sqrt{169}}=\frac{13}{13}=1[/dispmath] te je jednačina kružnice [inlmath]\left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2=1[/inlmath].