MATEMANIJA

Odrediti duzinu tetive koja sadrzi zizu i normalna je na vecu osu elipse [inlmath]\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1[/inlmath]

---

Na hiperboli [inlmath]3x^2-4y^2=72[/inlmath] odrediti tacku najblizu pravoj [inlmath]3x+2y+1=0[/inlmath] i izracunati odstojanje izmedju ove tacke i prave

Prvi, zasad.

smAshh je napisao:Odrediti duzinu tetive koja sadrzi zizu i normalna je na vecu osu elipse [inlmath]\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1[/inlmath]

Nađeš odatle dužinu velike poluose [inlmath]a[/inlmath] i dužinu male poluose [inlmath]b[/inlmath]. To ti je dovoljno da nađeš i koordinate žiža [inlmath]\left(-c,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(c,0\right)[/inlmath], prema formuli [inlmath]c^2=a^2-b^2[/inlmath]. Zatim postavljaš pravu koja je normalna na veću osu elipse, što znači da je normalna na [inlmath]x[/inlmath]-osu, a čim je normalna na [inlmath]x[/inlmath]-osu, njena jednačina treba da bude oblika [inlmath]x=[/inlmath](neki broj). Pošto ona prolazi kroz žižu, taj neki broj je [inlmath]c[/inlmath] ili [inlmath]-c[/inlmath]. Znači, razmatraš slučaj [inlmath]x=c[/inlmath] i [inlmath]x=-c[/inlmath]. Uvrstiš [inlmath]x=c[/inlmath], odnosno [inlmath]x=-c[/inlmath] u jednačinu elipse i za svaku pravu ćeš dobiti dva rešenja po [inlmath]y[/inlmath], to su [inlmath]y[/inlmath]-koordinate za dve presečne tačke. Pošto se one nalaze na pravoj koja je normalna na [inlmath]x[/inlmath]-osu, tj. [inlmath]x[/inlmath]-koordinate su im jednake, rastojanje između njih jednako je razlici njihovih [inlmath]y[/inlmath]-koordinata. Za obe prave, i za [inlmath]x=c[/inlmath] i za [inlmath]x=-c[/inlmath], dobije se da je rastojanje presečnih tačaka s elipsom, tj. dužina tražene tetive, jednako [inlmath]4[/inlmath].

Daniel je napisao:Pošto se one nalaze na pravoj koja je paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi, tj. [inlmath]x[/inlmath]-koordinate su im jednake, rastojanje između njih jednako je razlici njihovih [inlmath]y[/inlmath]-koordinata. Za obe prave, i za [inlmath]x=c[/inlmath] i za [inlmath]x=-c[/inlmath], dobije se da je rastojanje presečnih tačaka s elipsom, tj. dužina tražene tetive, jednako [inlmath]4[/inlmath].

Moze li ovo da se objasni malo? Dobio sam da su mi [inlmath]y_1=2[/inlmath] i [inlmath]y_2=-2[/inlmath] ali ne razumemm kako se racuna rastojanje to?

Izvini, greška u pisanju... Hteo sam da napišem „Pošto se one nalaze na pravoj koja je normalna na [inlmath]x[/inlmath]-osu...“ Sad ću ispraviti...
Da li ti je, s ovom ispravkom, jasnije?

U opštem slučaju, rastojanje dve tačke [inlmath]M_1\left(x_1,y_1\right)[/inlmath] i [inlmath]M_2\left(x_2,y_2\right)[/inlmath] dato je formulom[dispmath]d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}[/dispmath]ali, pošto su ovde [inlmath]x[/inlmath]-koordinate obe tačke jednake, [inlmath]\left(x_2-x_1\right)^2[/inlmath] je jednako nuli, pa se izraz za rastojanje svodi samo na[dispmath]d=\sqrt{\left(y_2-y_1\right)^2}[/dispmath]tj. na[dispmath]d=\left|y_2-y_1\right|[/dispmath]

ali kako su jednake ako dobijem da mi e [inlmath]x=4\sqrt 3[/inlmath] i [inlmath]x=-4\sqrt 3[/inlmath] ??

Ne, vidi... Kad posmatraš jednu od te dve prave, recimo, pravu [inlmath]x=4\sqrt 3[/inlmath], ona će s elipsom imati dve presečne tačke, a te dve presečne tačke će imati iste [inlmath]x[/inlmath]-koordinate, pa će se njihovo rastojanje svesti na razliku njihovih [inlmath]y[/inlmath]-koordinata. I dobićemo da je to rastojanje jednako [inlmath]4[/inlmath].

Kad, posle toga, posmatraš onu drugu pravu, [inlmath]x=-4\sqrt 3[/inlmath], ona će s elipsom imati takođe dve presečne tačke, a te dve presečne tačke će, takođe, imati iste [inlmath]x[/inlmath]-koordinate, pa će se njihovo rastojanje takođe svesti na razliku njihovih [inlmath]y[/inlmath]-koordinata. I dobićemo da je to rastojanje takođe jednako [inlmath]4[/inlmath].

Shvataš sad?

Da... a tetiva je ustvari nije duzina [inlmath]F_1F_2[/inlmath] tj duzina jednaka zizi?

Evo i ilustracije:

smAshh je napisao:Da... a tetiva je ustvari nije duzina [inlmath]F_1F_2[/inlmath] tj duzina jednaka zizi?

Nisam baš razumeo.
Tetive koje se ovde traže nemaju veze s rastojanjem između žiža [inlmath]\overline{F_1F_2}[/inlmath].
Nijedna dužina ne može biti jednaka žiži, jer žiža je tačka, a tačka nema dužinu.

Što se tiče ovog drugog,

smAshh je napisao:Na hiperboli [inlmath]3x^2- 4y^2=72[/inlmath] odrediti tacku najblizu pravoj [inlmath]3x+2y+1=0[/inlmath] i izracunati odstojanje izmedju ove tacke i prave

Treba prvo da odrediš tangentu na hiperbolu koja je paralelna zadatoj pravoj [inlmath]3x+2y+1=0[/inlmath]. To radiš tako što zadatu pravu napišeš u eksplicitnom obliku, kako bi joj odredio koeficijent pravca [inlmath]k[/inlmath], a isto tako i jednačinu hiperbole napišeš u obliku [inlmath]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath], radi određivanja [inlmath]a^2[/inlmath] i [inlmath]b^2[/inlmath]. Jednačina tangente u eksplicitnom obliku imaće, naravno, isti koeficijent pravca [inlmath]k[/inlmath] kao i njoj paralelna prava [inlmath]3x+2y+1=0[/inlmath]. Treba joj još odrediti slobodan član [inlmath]n[/inlmath], a njega određuješ tako što primeniš formulu za uslov da prava [inlmath]y=kx+n[/inlmath] bude tangenta na hiperbolu [inlmath]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath], a koja glasi[dispmath]a^2k^2-b^2=n^2[/dispmath]Dobićeš dva rešenja po [inlmath]n[/inlmath], što je i logično, budući da, zbog oblika hiperbole, postoje dva slučaja kada prava paralelna datoj pravoj tangira hiperbolu. Dalje radimo posebno za jednu, a posebno za drugu vrednost [inlmath]n[/inlmath]. Odredimo tačku dodira hiperbole i tangente. Zatim odredimo rastojanje te tačke od zadate prave, koristeći formulu za rastojanje tačke [inlmath]M\left(x_0,y_0\right)[/inlmath] od prave [inlmath]Ax+By+C=0[/inlmath], koja glasi[dispmath]d=\frac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/dispmath]To uradimo za obe vrednosti [inlmath]n[/inlmath] koje smo dobili, uporedimo rezultate i vidimo koja od dve tačke dodira ima manje rastojanje od zadate prave. Ta tačka koja je na manjem rastojanju od prave, kao i samo njeno rastojanje od prave, predstavljaće rešenje ovog zadatka.

Dobiće se da su koordinate jedne dodirne tačke [inlmath]\left(-6,3\right)[/inlmath], a njeno rastojanje od prave [inlmath]3x+2y+1=0[/inlmath] je jednako [inlmath]\frac{11\sqrt{13}}{13}[/inlmath], dok će koordinate druge dodirne tačke biti [inlmath]\left(6,-3\right)[/inlmath], a njena udaljenost od prave [inlmath]3x+2y+1=0[/inlmath] biće jednako [inlmath]\sqrt{13}[/inlmath], tako da zaključujemo da je tačka [inlmath]\left(-6,3\right)[/inlmath] na manjem rastojanju od prave [inlmath]3x+2y+1=0[/inlmath], pa kao rešenje uzimamo njene koordinate, kao i njenu udaljenost od prave, tj. [inlmath]\frac{11\sqrt{13}}{13}[/inlmath].

Evo ilustracije:


Sivkaste prave predstavljaju tangente na hiperbolu [inlmath]3x^2-4y^2=72[/inlmath] paralelne pravoj [inlmath]3x+2y+1=0[/inlmath].