MATEMANIJA

Pozdrav imam problem sa analitickom ponovo da ne duzim zadatak glasi:
Odrediti [inlmath]\vec r_C[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]\vec r_A[/inlmath] i [inlmath]\vec r_B[/inlmath], tako da trougao [inlmath]ABC[/inlmath] bude jednakostranican i da tacke [inlmath]OABC[/inlmath] budu komplanarne, gde je [inlmath]O[/inlmath] koordinatni pocetak. Resenje: [inlmath]\vec r_C=\frac{1}{2}\left(\vec r_A+\vec r_B\right)\pm\frac{\sqrt3}{2}\left|\vec{AB}\right|\frac{\vec d}{\left|\vec d\right|}[/inlmath] gde je [inlmath]\vec d=\left(\vec r_A\times\vec{AB}\right)\times\vec{AB}[/inlmath]. Ovde mi je nejasno sta predstavlja ovaj vektor [inlmath]\vec d[/inlmath] zbog cega njega pravimo i zasto se vektorski mnozi dva puta sa [inlmath]\vec{AB}[/inlmath]. Hvala

Prvi sabirak u rešenju, [inlmath]\frac{1}{2}\left(\vec r_A+\vec r_B\right)[/inlmath], predstavlja vektor položaja tačke [inlmath]D[/inlmath], gde je tačka [inlmath]D[/inlmath] sredina stranice [inlmath]AB[/inlmath]. Na taj vektor je potrebno dodati još vektor [inlmath]\vec{DC}[/inlmath], kako bi se dobio vektor položaja [inlmath]\vec r_C[/inlmath] (to će biti onaj drugi sabirak).


Znamo da intenzitet vektora [inlmath]\vec{DC}[/inlmath] (koji predstavlja visinu jednakostraničnog trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]) treba da bude [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}\left|\vec{AB}\right|[/inlmath] (jer [inlmath]\left|\vec{AB}\right|[/inlmath] predstavlja dužinu stranice tog trougla), ali je potrebno to još pomnožiti i jediničnim vektorom određenog pravca i smera, kako bismo dobili i sâm vektor [inlmath]\vec{DC}[/inlmath].
E sad, kako naći pravac i smer tog jediničnog vektora? Pošto tačka [inlmath]C[/inlmath] treba da bude komplanarna s tačkama [inlmath]O[/inlmath], [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], sledi da vektor [inlmath]\vec{DC}[/inlmath] mora biti komplanaran s vektorima [inlmath]\vec r_A[/inlmath] i [inlmath]\vec{AB}[/inlmath]. To znači da mora biti normalan na njihov vektorski proizvod (jer je vektorski proizvod normalan na oba ta vektora – pokušaj da zamisliš u prostoru). Takođe, [inlmath]\vec{DC}[/inlmath] mora biti normalan i na vektor [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] (jer je visina na neku stranicu trougla normalna na tu stranicu). Prema tome, [inlmath]\vec{DC}[/inlmath] je normalan i na [inlmath]\vec r_A\times\vec{AB}[/inlmath] i na [inlmath]\vec{AB}[/inlmath]. To znači da [inlmath]\vec{DC}[/inlmath] ima isti pravac kao i vektorski proizvod ta dva vektora, [inlmath]\left(\vec r_A\times\vec{AB}\right)\times\vec{AB}[/inlmath].

Dakle, potrebno je ranije dobijeni izraz za intenzitet vektora [inlmath]\vec{DC}[/inlmath] još pomnožiti jediničnim vektorom koji ima pravac kao i vektor [inlmath]\left(\vec r_A\times\vec{AB}\right)\times\vec{AB}[/inlmath]. Označimo [inlmath]\left(\vec r_A\times\vec{AB}\right)\times\vec{AB}[/inlmath] sa [inlmath]\vec d[/inlmath], a odatle ćemo traženi jedinični vektor dobiti kao [inlmath]\frac{\vec d}{\left|\vec d\right|}[/inlmath]. Ostalo je još samo da pomnožimo [inlmath]\left|\vec{DC}\right|[/inlmath] sa [inlmath]\frac{\vec d}{\left|\vec d\right|}[/inlmath], kako bismo dobili vektor [inlmath]\vec{DC}[/inlmath].

Što se tiče smera vektora [inlmath]\vec{DC}[/inlmath], možemo uzeti i jedan i drugi smer, jer od toga zavisi s koje će se strane stranice [inlmath]AB[/inlmath] naći tačka [inlmath]C[/inlmath], ali i jedno i drugo predstavlja ispravno rešenje. Otuda onaj znak [inlmath]\pm[/inlmath] ispred drugog sabirka.

Dakle, uopšte nam nije bio bitan intenzitet vektora [inlmath]\vec d[/inlmath], već samo njegov pravac i smer, jer od njega formiramo jedinični vektor. Uostalom, i u izrazu za rešenje vektor [inlmath]\vec d[/inlmath] figuriše samo unutar količnika [inlmath]\frac{\vec d}{\left|\vec d\right|}[/inlmath], tj. vektor [inlmath]\vec d[/inlmath] delimo njegovim intenzitetom. Taj količnik, prema tome, predstavlja vektor čiji je intenzitet [inlmath]1[/inlmath] (jedinični vektor), a čiji su pravac i smer isti kao pravac i smer vektora [inlmath]\vec d[/inlmath] – što znači da izraz u rešenju ne zavisi od intenziteta vektora [inlmath]\vec d[/inlmath].

Zahvaljujem na odgovoru jos samo ovo ako mogu da pitam

Daniel je napisao:E sad, kako naći pravac i smer tog jediničnog vektora? Pošto tačka [inlmath]C[/inlmath] treba da bude komplanarna s tačkama [inlmath]O[/inlmath], [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], sledi da vektor [inlmath]\vec{DC}[/inlmath] mora biti komplanaran s vektorima [inlmath]\vec r_A[/inlmath] i [inlmath]\vec{AB}[/inlmath]. To znači da mora biti normalan na njihov vektorski proizvod (jer je vektorski proizvod normalan na oba ta vektora – pokušaj da zamisliš u prostoru).

Kako je to vektorski proizvod normalan na oba vektora [inlmath]\vec{r_A}[/inlmath] i [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] pokusavam da zamislim ali mi ne ide . Hvala

Vektorski proizvod neka dva vektora po definiciji je normalan na ravan koju obrazuju ta dva vektora, što znači da je normalan na svaki od ta dva vektora.

Imam jos jednu opasku na ovaj zadatak sad kada sam malo bolje razumeo vektore da li sam mogao vektor polozaja od [inlmath]C[/inlmath] da izrazim ovako
[inlmath]r_C = \frac{1}{2} \cdot |r_A + r_B|+\sqrt{3} \cdot |\frac{1}{2}\cdot(r_A + r_B)| \cdot \frac{\vec d}{|\vec d|}[/inlmath] ?

Batonja je napisao:[inlmath]r_C = \frac{1}{2} \cdot {\color{blue}|r_A + r_B|}+\sqrt{3} \cdot {\color{blue}|\frac{1}{2}\cdot(r_A + r_B)|} \cdot \frac{\vec d}{|\vec d|}[/inlmath]

Mislim da ti ovde fale neke strelice ili zagrade. Ne možeš vektor, kako kažeš, od [inlmath]C[/inlmath] izraziti kao [inlmath]r_c=\ldots[/inlmath], već kao [inlmath]\vec{r_c}=\ldots[/inlmath]. Takođe, nisam siguran šta je ovo označeno plavom bojom, odnosno čemu ove vertikalne zagrade, imalo bi smisla ako bi unutar zagrada bili vektori. Mada, ako je tako, onda je desna strana zbir vektora i skalara što ne može predstavljati vektor položaja.