MATEMANIJA

Pozdrav svima , ovako glasi zadatak:

Pokazati da svaka tangenta krive [inlmath]y=\frac{1}{2}\sqrt[2]{x-4x^2}[/inlmath] presjeca ordinatnu osu u tacki podjednako udaljenoj od tacke dodira i koordinatnog pocetka.
Ne razumijem bas najbolje uslov zadatka, izracunao sam prvi izvod [inlmath]y'=\frac{1-8x}{4\sqrt[2]{x-4x^2}}[/inlmath] radi jednacine tangente krive ali ne znam kako da to iskoristim

Pozdrav!
Možda će sa slike biti jasnije:


Ako na krivoj [inlmath]y=\frac{1}{2}\sqrt{x-4x^2}[/inlmath] odaberemo tačku [inlmath]A[/inlmath] kao na slici, povučemo kroz nju tangentu na krivu i presek tangente i ordinate označimo sa [inlmath]C[/inlmath], važiće [inlmath]AC=OC[/inlmath], gde je [inlmath]O[/inlmath] koordinatni početak.
Izaberemo zatim neku drugu tačku na krivoj, obeležimo je sa [inlmath]B[/inlmath], isto povučemo tangentu, presek tangente i ordinate obeležimo sa [inlmath]D[/inlmath], takođe će važiti [inlmath]BD=OD[/inlmath].
Potrebno je dokazati da svaka tačka na datoj krivoj ima tu osobinu.

Izraz za funkciju [inlmath]y=\frac{1}{2}\sqrt{x-4x^2}[/inlmath] možemo pogodnim transformacijama predstaviti u takvom obliku koji je zgodniji da se iz njega vidi da ova kriva predstavlja zapravo gornju polovinu kružnice, čiji je centar transliran iz koordinatnog početka za dužinu poluprečnika kružnice, u pozitivnom smeru [inlmath]x[/inlmath]-ose. To znači da će se centar te kružnice (čiju gornju polovinu posmatramo) nalaziti na [inlmath]x[/inlmath]-osi, a da će ta kružnica dodirivati ordinatu.
Kad se ovo pokaže, dalje je zadatu tvrdnju moguće vrlo lako dokazati na čisto geometrijski način (podudarnost trouglova).

Ukoliko se baš traži da se tvrdnja dokaže analitičkim putem, potrebno je napisati jednačinu tangente, za šta si već načinio prvi korak – našao si izvod krive. Za proizvoljno izabranu tačku [inlmath]M(x,y)[/inlmath] na krivoj treba umesto [inlmath]y[/inlmath] uvrstiti izraz za funkciju (to će biti [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tačke), koeficijent pravca tangente imaš, to je izvod koji si odredio, potrebno je da još nađeš presek tangente s ordinatom. Zatim, takođe analitički, odrediš rastojanje preseka tangente s ordinatom od izabrane tačke [inlmath]M[/inlmath], a zatim pokažeš da je to zapravo [inlmath]y[/inlmath]-koordinata preseka tangente s ordinatom, čime će zadato tvrđenje biti dokazano.

Kidas Daniele

Hvala puno na objasnjenju, ali izgleda da sam previse glup da ovo dokazem

Ovo mi je jednacina tangente koja prolazi kroz tacku [inlmath]M\left(x,\frac{1}{2}\sqrt{x-4x^2}\right)[/inlmath]
[dispmath]Y-\frac{1}{2}\sqrt{x-4x^2}=\frac{1-8x}{4\sqrt{x-4x^2}}(X-x)[/dispmath] A tangenta bi trebala sjeci ordinatu u nekoj tacki cije su kordinate [inlmath](0,y)[/inlmath] , ali ne znam kako da uz pomoc ovoga odredim rastojanje izmedju presjeka tangente s ordinatom i tačke [inlmath]M[/inlmath]

OK, znači nađeš [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu preseka tangente s ordinatom uvrštavanjem [inlmath]X=0[/inlmath] u jednačinu tangente koju si dobio. Nakon toga rastojanje između preseka i tačke [inlmath]M[/inlmath] računaš po onoj formuli za rastojanje između dve tačke s koordinatama [inlmath](x_1,y_1)[/inlmath] i [inlmath](x_2,y_2)[/inlmath]:
[dispmath]d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/dispmath] (što je prilično očigledno, čista primena Pitagorine teoreme)

Dobićeš da je [inlmath]d[/inlmath] jednako [inlmath]y[/inlmath]-koordinati preseka tangente s ordinatom, i time je dokaz završen.

Jos jednom vam hvala, sad sam konacno shvatio