MATEMANIJA

Imam problem sa ovim zadatkom iz analiticke geometrije, pa ako bi neko mogao bar da me uputi kako bi trebalo da se resi. Pokusao sam da napravim neki sistem tako sto [inlmath]x[/inlmath] koordinatu tacke [inlmath]A[/inlmath] izrazim preko sredista i [inlmath]x[/inlmath] koordinate tačke [inlmath]B[/inlmath], ali nikako ne dobijem dobro resenje. Hvala unapred! Inace zadatak je sa prijemnog na MATF Beograd 2007.

Prava [inlmath]l[/inlmath] seče pravu [inlmath]y=2x−2[/inlmath] u tački [inlmath]A[/inlmath], a pravu [inlmath]y=x+1[/inlmath] u tački [inlmath]B[/inlmath]. Ako je tačka [inlmath]M(1,1)[/inlmath] središte duži [inlmath]AB[/inlmath], onda je jednačina prave [inlmath]l[/inlmath]:
[inlmath]A)\;y=x\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;y=2x−1\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;y=1\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;y=2−x\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;x=1\quad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{ne znam}[/inlmath]

Tačan odgovor je pod [inlmath]E[/inlmath].

Napiši koliki je zbir [inlmath]x[/inlmath] koordinata tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Potom uradi to isto i za [inlmath]y[/inlmath] koordinate. Ovaj drugi zbir možeš izraziti preko [inlmath]x[/inlmath] koordinata jer su ti poznate jednačine pravih. Dobićeš sistem jednačina, kada ga rešiš lako ćeš zaključiti koja je prava u pitanju.

Neće to baš ići tako (bar ako sam ja dobro razumeo uputstvo). Imali bismo [inlmath]x_A+x_B=2[/inlmath], kao i [inlmath]y_A+y_B=2[/inlmath], zatim zamenom jednačina pravih u drugu jednačinu dobili bismo sistem [inlmath]\begin{array}{l} x_A+x_B=2\\ 2x_A+x_B=3 \end{array}[/inlmath] čija bi rešenja bila [inlmath](x_A,x_B)=(1,1)[/inlmath], što upravo odgovara tački koju već imamo.

Umesto toga, trebalo bi izvršiti osnu simetriju jedne od date dve prave u odnosu na tačku [inlmath]M[/inlmath], pa zatim naći presek te nove prave s onom drugom pravom. Ta tačka preseka i tačka [inlmath]M[/inlmath] odrediće traženu pravu (sa skice se lepo vidi zašto je tako)...

@jmatija98, pitanje si vrlo lepo postavio, ali upotreba Latexa na ovom forumu je obavezna, a postoji i uputstvo. U tvom postu nije bilo potrebe ni za kakvim specijalnim Latex-komandama, bilo je dovoljno uokviriti oznake i jednačine Latex-tagovima. Složićeš se da je tvoj post čitljiviji sada kada su dodati Latex-tagovi.

Dobro da se i ti zbuniš negde stavio si u zagradi dve [inlmath]x[/inlmath] koordinate tako da to nisu koordinate ni jedne tačke

Tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] imaju [inlmath]x[/inlmath] koordinatu jednaku [inlmath]1[/inlmath] što znači da pripadaju pravoj [inlmath]x=1[/inlmath].
Pošto [inlmath]M[/inlmath] već ima [inlmath]x[/inlmath] koordinatu [inlmath]1[/inlmath] dovoljno je znati samo [inlmath]x[/inlmath] koordinatu jedne od tačaka ([inlmath]A[/inlmath] ili [inlmath]B[/inlmath])

Tačno, u pravu si. Mada eto, možda nije ni loše što sam se zbunio, jer sad imamo dva načina za rešavanje ovog zadatka.

Hvala na odgovorima, ali mislim da je jednostavniji prvi nacin jer dobijem dve tacke cije su koordinate [inlmath]x[/inlmath] iste pa mogu lako sa skice da zakljucim koja je prava u pitanju!